Mathématiques - Démonstration - Nombres premiers de Mersenne

Rappel du premier message :

Voici une exploration sur les nombres premiers de Mersenne. Comme aucune rubrique sur les maths n'avait encore été créée, je la poste par défaut dans la rubrique de la philosophie générale.



Les facteurs premiers d'un nombre de Mersenne composé sont de la forme kP + 1 avec P un nombre premier, et k un entier positif non nul.

Ainsi, si un nombre de Mersenne est lui-même premier, il admet alors un seul facteur premier qui est ainsi unique : kP + 1.

* 31 est un nombre premier de Mersenne, équivalent à 2^5 - 1, et égal à la forme 6*5 + 1, où k = 6 et P = 5.
* 127 est un nombre premier de Mersenne, équivalent à 2^7 - 1, et égal à la forme 18*7 + 1, où k = 18 et P = 7.
* 7 est un nombre premier de Mersenne, équivalent à 2^3 - 1, et égal à la forme 2*3 + 1.

Du coup, je découvre qu'on peut lier le nombre premier P dans les deux côtés de l'égalité : 2^P - 1 = kP + 1 Ainsi, pour mon calcul qui va suivre, je pose P >2, donc P est forcément un nombre premier impair.
Mon but est d'essayer de trouver des nombres premiers de Mersenne, je pose Q un nombre premier.

J'obtiens donc 2^Q - 1 = kP + 1, ce qui est simplifié sous la forme 2^Q = kP + 2.

Là ça va devenir intéressant : on sait que pour tout P >= 3, que (2^Q - 1) modulo 10 = 1 ou 7.
Ensuite, afin de restreindre la multitude de cas possibles, et pour trouver une solution plus singulière, je pose k = P.

Ainsi, je pose 2^Q = P² + 2

Sachant que (2^Q - 1) modulo 10 = 1 ou 7, alors 2^Q modulo 10 = 2 ou 8.

Alors P² modulo 10 = 0 ou 6, or justement P est impair, donc son carré (P²) est aussi impair, ce qui exclut 0 et 6, donc il n'existe par d'égalité telle que 2^Q - 1 = P² + 1 avec Q et P premiers.


Ensuite, si on suppose que k est différent de P, alors la forme 2^P - 1 = kP + 1 donne l'égalité k = (2^P - 2)/P où le numérateur est toujours pair, et P toujours impair, ce qui a pour conséquence que k est pair.

Comme 2^P - 1 se termine toujours par 1 ou 7 pour P >= 3, alors la valeur du produit kP se termine toujours par 0 ou 6. Mais comme k est pair, alors kP est pair aussi, ce qui admet bien l'une des deux valeurs : 0 ou 6, donc kP est un multiple de 5 ou un multiple de 6.

Ben... ces thématiques sont bien connus depuis plusieurs siècles. Et puis sans vouloir te dévaloriser, les mathématiciens de l'époque avaient un bagage bien plus conséquent que celui que l'on a sur le forum.

Je trouve que tu as de bonnes idées, mais ce qui est super dommage, c'est que tu ne vas pas au bout de tes idées, et démonstrations, te satisfaisant de quelques maigres indices essayés sur quelques nombres, sans vouloir démontrer formellement tes résultats.

Si tu veux contribuer dans la recherche mathématique, il faut faire pas mal de bibliographie. Par contre les domaines sont tellement spécialisés... un niveau de master est un minimum.

Dans la journée, je ne fais pas que des maths, j'ai d'autres priorités et j'aurai de moins en moins de temps hélas. Il faut consacrer du temps aux maths pour arriver à des démonstrations complètes, mais si elles ne sont pas inédites c'est perdre son temps. Je fais des maths comme hobby, ce n'est pas mon métier.

Il est vrai que les nombres de Fibonacci sont connus depuis la Renaissance, et que jadis les mathématiciens étaient des calculateurs prodiges à une époque où les calculettes n'existaient pas. Bien des générations de matheux se sont succédées pour explorer plusieurs fois les mêmes sujets que j'ai exploré, donc trouver un truc inédit est peut-être vain.

Sinon, pour en revenir aux nombres de Mersenne a priori présents dans la suite de Fibonacci, je découvre l'égalité suivante :

soit P un nombre premier supérieur à 2
soit φ le nombre d'or
soit F_n un nombre de Fibonacci dont l'indice 'n' est pair

à partir de 2^P - 1 = F_n

je trouve :

2^P - 1 = (1/√5)(φ^n - (1/φ^n).cos(πn))

la problématique : existe t-il des solutions ?

C'est pour ça que les chercheurs en maths travaillent à plein temps. Il y a très peu de discipline où les amateurs peuvent encore apporter leur contribution (je ne vois que l'astronomie).

Je pense qu'un résumé grossier de la recherche en maths peut être vu là :
http://fr.wikipedia.org/wiki/Probl%C3%A8mes_du_prix_du_mill%C3%A9naire

Où sont décrits les 7 problèmes du millénaire en mathématiques. Les problèmes sont tellement abstraits... certains sont inexpliquables à l'amateur. Les maths (comme la plupart des disciplines) sont devenus tellement techniques...

Pulstars a écrit:

Sinon, pour en revenir aux nombres de Mersenne a priori présents dans la suite de Fibonacci, je découvre l'égalité suivante :

C'est drôlé que tu emploies ce terme. Je ne parlerai pas de découverte, ça fait très candide (sans être péjoratif), c'est plutôt une réécriture.

Pulstars a écrit:

soit P un nombre premier supérieur à 2
soit φ le nombre d'or
soit F_n un nombre de Fibonacci dont l'indice 'n' est pair

à partir de 2^P - 1 = F_n

je trouve :

2^P - 1 = (1/√5)(φ^n - (1/φ^n).cos(πn))

la problématique : existe t-il des solutions ?

Tu es sûr du cos (pi n) ??
Sur wiki l'expression de F_n est sans le cos (pi n).

Pulstars a écrit:

Bien des générations de matheux se sont succédées pour explorer plusieurs fois les mêmes sujets que j'ai exploré, donc trouver un truc inédit est peut-être vain.

Voici une piste :
http://fr.wikipedia.org/wiki/Probl%C3%A8mes_non_r%C3%A9solus_en_math%C3%A9matiques

Là sont référencés quelques problèmes.

Je pense que certains pourraient te plaire :

existe-t-il un nombre parfait qui est impair ?

Ou sur les nombres premiers :
existence de nombre double de Mersenne pour n plus grand que 31
conjecture des nombres premiers jumeaux
existe-t-il une infinité de quadruplets de nombres premiers ?
existe-t-il une infinité de nombres premiers de Mersenne ?
existe-t-il une infinité de nombres premiers réguliers ?
existe-t-il une infinité de nombres de Cullen ?
existe-t-il une infinité de nombres premiers palindromes en base 10 ?
existe-t-il une infinité de nombres de Fibonacci qui sont premiers ?
est-ce que chaque nombre de Fermat est composé pour n>4 ?
78557 est le plus petit nombre de Sierpinski ?
509203 est le plus petit nombre de Riesel ?
conjecture de De Polignac
problèmes de Landau

Autres :
conjecture de Syracuse (conjecture de 3n+1) (je l'ai déjà évoqué)


Comme ils sont énoncés, je pense que quelques milliers de mathématiciens s'y sont déjà attaqués, et je pense que c'est super difficile

Citation :

C'est drôlé que tu emploies ce terme. Je ne parlerai pas de découverte, ça fait très candide (sans être péjoratif), c'est plutôt une réécriture.

On devrait dire plutôt "je constate l'égalité suivante". C'est mieux ?

Citation :

Tu es sûr du cos (pi n) ??
Sur wiki l'expression de F_n est sans le cos (pi n).

Je ne pompe pas sur Wikipedia, sinon ce ne serait rien trouver par soi-même.

D'où vient le cosinus ? Je ne l'ai pas inventé, il s'agit du résultat donné par un outil en ligne afin d'assister les calculs : http://www.wolframalpha.com/input/?i=2^P+-+1+%3D+F_n

Je voudrais bien admettre que l'égalité est fausse, mais en général ce site produit des résultats convaincants.

Citation :

existe-t-il un nombre parfait qui est impair ?

Je sais par exemple que les nombres parfaits peuvent être reliés aux nombres premiers de Mersenne.

Euclide a démontré que si M = 2^P - 1 est un nombre premier, alors M(M+1)/2 = 2^(P-1)(2^P - 1) est un nombre parfait. Comme 2^P - 1 est toujours impair (puisque supérieur à 2), et comme 2^(P-1) est toujours pair, alors M(M+1)/2 est toujours pair. Peut-être insuffisant comme argument mais c'est une piste, et en tout cas les nombres parfaits liés aux nombres de Mersenne sont tous pairs.

Citation :

existence de nombre double de Mersenne pour n plus grand que 31

Parmi mes conjectures (je ne les ai pas toutes énoncées ici), je conjecture que 2^(2^127 - 1) - 1 est un nombre premier double de Mersenne (idem pour 2^(2^31 - 1) -1) mais je ne sais pas comment le prouver...

Citation :

conjecture des nombres premiers jumeaux

Il y en aurait une infinité mais on ne sait pas le démontrer.

Citation :

existe-t-il une infinité de nombres premiers de Mersenne ?

Je pense que oui. Il semblerait qu'il y ait une loi de croissance exponentielle.

M_1 = environ 10^0
M_8 = environ 10^1
M_13 = environ 10^2
M_19 = environ 10^3
M_27 = environ 10^4

Pour un indice n pour l'expression M_n = 10^x, on a grosso modo n proportionnel a priori à x.

Citation :

existe-t-il une infinité de nombres de Fibonacci qui sont premiers ?

Je présume que oui.

Citation :

est-ce que chaque nombre de Fermat est composé pour n>4 ?

Oui, si tu parles des nombres de la forme 2^(2^n) + 1. À ma connaissance, on ne connaîtrait que 5 nombres premiers de Fermat, mais pour tout n > 4 on ne sait pas.

Citation :

Comme ils sont énoncés, je pense que quelques milliers de mathématiciens s'y sont déjà attaqués, et je pense que c'est super difficile

Super difficile, oui, ça l'est. Il y a même pire : c'est que cela fait sacrifier beaucoup de temps, c'est terrible pour les stressés pressés.

Sinon, là je viens de tomber sur ça : http://fr.wikipedia.org/wiki/Brique_parfaite_d%E2%80%99Euler

Je conjecture que la problématique n'a pas de solutions entières. Je prends l'exemple du cube : si une arête est une grandeur entière, alors ses diagonales sont respectivement cette grandeur multipliée par racine carrée de 2 et ladite grandeur multipliée par racine carrée de 3. J'ai du mal à concevoir un volume admettant les grandeurs (arêtes, diagonales...) comme toutes entières.

Je viens de voir une info sur un site :

The product of the four primes in a prime quadruplet (except for 5, 7, 11, 13) always ends in 189. Example: 101 x 103 x 107 x 109 = 121,330,189.

Le produit de 4 nombres premiers dans un quadruplet (excepté pour 5, 7, 11, 13) finit toujours par les chiffres 189.

Donc, pour mettre ça en équation, soit P, P+2, P+4, P+6 des nombres premiers, avec P > 5, donc :

P(P+2)(P+4)(P+6) modulo 1000 = 189

Pulstars a écrit:

On devrait dire plutôt "je constate l'égalité suivante". C'est mieux ?

mieux oui.

Pulstars a écrit:

Je ne pompe pas sur Wikipedia, sinon ce ne serait rien trouver par soi-même.

D'où vient le cosinus ? Je ne l'ai pas inventé, il s'agit du résultat donné par un outil en ligne afin d'assister les calculs : http://www.wolframalpha.com/input/?i=2^P+-+1+%3D+F_n

Je voudrais bien admettre que l'égalité est fausse, mais en général ce site produit des résultats convaincants.

Autant pour moi, en fait il y a une façon plus simple et naturelle d'écrire cos pi*n, c'est (-1)^n.
Ce n'est pas une forme économique.
Et puis je te retourne la remarque, si tu te sers de ces logiciels, tu ne fais plus rien par toi-même...

Pulstars a écrit:

Citation :

existe-t-il un nombre parfait qui est impair ?

Je sais par exemple que les nombres parfaits peuvent être reliés aux nombres premiers de Mersenne.

Euclide a démontré que si M = 2^P - 1 est un nombre premier, alors M(M+1)/2 = 2^(P-1)(2^P - 1) est un nombre parfait. Comme 2^P - 1 est toujours impair (puisque supérieur à 2), et comme 2^(P-1) est toujours pair, alors M(M+1)/2 est toujours pair. Peut-être insuffisant comme argument mais c'est une piste, et en tout cas les nombres parfaits liés aux nombres de Mersenne sont tous pairs.

Quand j'étais plus jeune, j'ai essayé de le démontrer...
Ma piste c'était :
- soit P un nombre parfait pair, dans ce cas N= P/2 et 2 sont des diviseurs de P.
Ainsi P = N + 2 + M
M=P/2-2 (on peut dire que M, somme des autres diviseurs, est petit relativement à P, il vaut moins de la moitié de P).

- soit P un nombre parfait impair, dans ce cas N= P/3 et 3 sont des diviseurs de P.
Ainsi P = N + 3 + M
M=2*P/3-3 (on peut dire que M, somme des autres diviseurs, est grand relativement à P, il vaut un peu moins des 2/3 de P).
Je voulais montrer que c'était impossible, mais ce n'est pas pour rien que c'est toujours un problème ouvert.


Enfin bref, ce ne sont que des problèmes liés aux nombres premiers, qui sont un tout petit domaine des mathématiques, mais au moins tout le monde peut les comprendre.

Citation :

Et puis je te retourne la remarque, si tu te sers de ces logiciels, tu ne fais plus rien par toi-même...

Oui, concernant l'équation avec le cosinus. Mais l'idée de base qui consiste à relier par exemple un nombre premier de Mersenne à un terme de la suite de Fibonacci c'est moi qui l'aie eue, pas le logiciel... Si le logiciel devait produire lui-même jusqu'aux idées, là oui on ne ferait plus rien par soi-même.

À l'attention de Bongo1981 :


Soit Q un nombre de la forme Q = (2^P)² + (2^(P+3) - 1)².

J'ai constaté que lorsque Q est premier, alors P est premier aussi.

Exemples :

* P = 3 ; Q = 113
* P = 5 ; Q = 1049
* P = 13 ; Q = 67109033
* P = 17 ; Q = 1116689399809
* P = 31 ; Q = 299759591163420475393
* P = 41 ; Q = 314320713099768401051516929
* P = 47 ; Q = 1287457640856793234095275507713



Je conjecture que pour Q = (2^P)² + (2^(P+3) - 1)² alors si Q est premier, alors P l'est aussi.
La seule certitude établie est que le nombre Q n'est jamais un nombre de Mersenne. Je ne sais cependant pas démontrer la présente conjecture.

Je ne trouve pas d'intérêt là. Tu proposes une expression Q=f(P).
Si Q est premier => P premier.

Je ne vois pas trop à quoi ça sert. Aujourd'hui la difficulté c'est de montrer qu'un nombre Q est premier. Si tu partais en sens inverse : si P est premier => Q premier, là y aurait du sens (on construit un nombre premier plus grand avec un nombre premier plus petit).

Surtout que Q croît de manière exponentielle par rapport à P. S'il faut montrer que Q est premier pour montrer que P l'est... je préfère démontrer que P l'est...

Après ces considérations générales, j'avoue que je ne vois pas trop comment attaquer ta conjecture, mais vu son intérêt, ça ne me motive pas.

Certes, cela aurait été plus intéressant de trouver une conjecture permettant de construire des nombres premiers à partir de nombres premiers plus petits.

Le problème c'est que la plupart du temps le nombre Q est composé quand P est premier. Mais j'avais cependant constaté que si Q est premier, P l'est aussi. J'ai ainsi trouvé 7 exemples qui corroborent ce constat. La question est : est-ce que pour tout Q premier, P est toujours premier ? C'est peut-être indémontrable. De plus que Q croît de manière exponentielle, cela ajoute à la difficulté de la conjecture.

J'ai testé jusqu'à P = 233, et je n'ai pas trouvé de Q premier pour P > 47.

Bref, conjecture abandonnée.