Mathématiques - Démonstration - Nombres premiers de Mersenne

Voici une exploration sur les nombres premiers de Mersenne. Comme aucune rubrique sur les maths n'avait encore été créée, je la poste par défaut dans la rubrique de la philosophie générale.



Les facteurs premiers d'un nombre de Mersenne composé sont de la forme kP + 1 avec P un nombre premier, et k un entier positif non nul.

Ainsi, si un nombre de Mersenne est lui-même premier, il admet alors un seul facteur premier qui est ainsi unique : kP + 1.

* 31 est un nombre premier de Mersenne, équivalent à 2^5 - 1, et égal à la forme 6*5 + 1, où k = 6 et P = 5.
* 127 est un nombre premier de Mersenne, équivalent à 2^7 - 1, et égal à la forme 18*7 + 1, où k = 18 et P = 7.
* 7 est un nombre premier de Mersenne, équivalent à 2^3 - 1, et égal à la forme 2*3 + 1.

Du coup, je découvre qu'on peut lier le nombre premier P dans les deux côtés de l'égalité : 2^P - 1 = kP + 1 Ainsi, pour mon calcul qui va suivre, je pose P >2, donc P est forcément un nombre premier impair.
Mon but est d'essayer de trouver des nombres premiers de Mersenne, je pose Q un nombre premier.

J'obtiens donc 2^Q - 1 = kP + 1, ce qui est simplifié sous la forme 2^Q = kP + 2.

Là ça va devenir intéressant : on sait que pour tout P >= 3, que (2^Q - 1) modulo 10 = 1 ou 7.
Ensuite, afin de restreindre la multitude de cas possibles, et pour trouver une solution plus singulière, je pose k = P.

Ainsi, je pose 2^Q = P² + 2

Sachant que (2^Q - 1) modulo 10 = 1 ou 7, alors 2^Q modulo 10 = 2 ou 8.

Alors P² modulo 10 = 0 ou 6, or justement P est impair, donc son carré (P²) est aussi impair, ce qui exclut 0 et 6, donc il n'existe par d'égalité telle que 2^Q - 1 = P² + 1 avec Q et P premiers.


Ensuite, si on suppose que k est différent de P, alors la forme 2^P - 1 = kP + 1 donne l'égalité k = (2^P - 2)/P où le numérateur est toujours pair, et P toujours impair, ce qui a pour conséquence que k est pair.

Comme 2^P - 1 se termine toujours par 1 ou 7 pour P >= 3, alors la valeur du produit kP se termine toujours par 0 ou 6. Mais comme k est pair, alors kP est pair aussi, ce qui admet bien l'une des deux valeurs : 0 ou 6, donc kP est un multiple de 5 ou un multiple de 6.

J'ai conçu des nombres premiers P tels que P = x²-x-1, avec x supérieur ou égal à 3.

Voici les premiers nombres premiers obtenus, je les appelle nombres premiers d'or : 5 11 19 29 41 71 89 109 131 181 239 271.

Nombres premiers d'or, parce que la fonction x²-x-1 lorsqu'elle s'annule, a pour solution positive le fameux nombre d'or.

Ces nombres premiers se terminent tous, à l'exception du nombre premier 5, par le chiffre 1 ou 9 en écriture décimale. C'est prouvé par le calcul informatique en langage Perl, par mes soins, mais le calcul modulaire démontre que c'est vrai pour tout nombre premier supérieur ou égal à 11, de la forme x²-x-1.

Sachant qu'un nombre premier de Mersenne peut s'écrire sous la forme 2^P - 1 = kP +1 avec k un nombre pair multiple de 5 ou 6, et P premier, (j'ai pu le démontrer) alors je considère un nombre premier de Mersenne exclusivement terminé par le chiffre 1 en base décimale afin de satisfaire l'égalité, puisque les grands nombres premiers de Mersenne se terminent par le chiffre 1 ou 7.

(2^P - 1) mod 10 = 1 donc 2^P = 10wP + 2 ou 12 wP + 2 quelque soit w un entier positif non nul.

2^(P - 1) = 5wP + 1 ou 6wP + 1 avec 2^(P-1) mod 10 = 1

Ainsi on a pour z = 5 ou 6 la solution suivante : (zwP + 1) mod 10 = 1

Alors on trouve zwP modulo 10 = 0, ce qui signifie que zwP est divisible par 5. Solution : z = 5.

Cela signifie qu'il existe, en toute cohérence, des nombres premiers de Mersenne 2^P - 1 qui sont égaux à la valeur 10wP+2, que l'on peut factoriser ainsi : 2(5wP +1).

Conséquence : wP modulo 10 = 5, ce détail étant important pour la recherche du nombre premier 2^P - 1 avec P premier.

Ainsi je conjecture qu'il existe des nombres premiers de Mersenne (tous terminés par le chiffre 1 en écriture décimale) de la forme 2^P - 1 = x² - x - 1 = 2(5wP + 1) avec w et x des entiers positifs non nuls.

Mes conjectures du jour :

* il n'existe pas de nombres premiers Q tels que Q = P³-P²-P-1 où P est aussi un nombre premier.

* il n'existe pas de nombres premiers de Mersenne (supérieurs à 5) de la forme P³-P-1.

* il n'existe pas de nombre premier de Mersenne égal à la somme de deux nombres premiers de Mersenne à laquelle on ajoute 1.

J'ai conçu un programme qui calcule les derniers chiffres (en écriture décimale) d'un nombre de Mersenne.

Il semble évident que pour tout P premier supérieur à 5, alors l'avant-dernier chiffre d'un nombre de Mersenne (premier ou composé) 2^P - 1 n'est jamais 3 ni 6.

L'hypothèse est vraie pour tous les nombres premiers de Mersenne actuellement connus supérieurs à 5.
L'hypothèse est vraie aussi pour tous les nombres de Mersenne composés et premiers dans l'intervalle de P = 7 à P = 357817.

Considérant l'intervalle P = 7 à P = 357817, les avant-derniers chiffres de 2^P - 1 avec P premier sont à peu près tous équiprobables (chacun des chiffres de 0 à 9 apparaît environ 3830 fois dans l'intervalle, sauf les chiffres 3 et 6 qui sont absents).

Pulstars a écrit:

Voici une exploration sur les nombres premiers de Mersenne. Comme aucune rubrique sur les maths n'avait encore été créée, je la poste par défaut dans la rubrique de la philosophie générale.

Je pense que pour un premier poste, il est bien de définir les nombres de Mersenne (j'ai dû utiliser une nati-sèche) :
Soit n un entier naturel, l'on définit M_n = 2^n - 1 un nombre de Mersenne.

Pulstars a écrit:

Les facteurs premiers d'un nombre de Mersenne composé sont de la forme kP + 1 avec P un nombre premier, et k un entier positif non nul.

C'est une définition ? une affirmation ?
Parce que l'on peut trouver des nombres de Mersenne premiers, ou non.

Pulstars a écrit:

Ainsi, si un nombre de Mersenne est lui-même premier, il admet alors un seul facteur premier qui est ainsi unique : kP + 1.

* 31 est un nombre premier de Mersenne, équivalent à 2^5 - 1, et égal à la forme 6*5 + 1, où k = 6 et P = 5.
* 127 est un nombre premier de Mersenne, équivalent à 2^7 - 1, et égal à la forme 18*7 + 1, où k = 18 et P = 7.
* 7 est un nombre premier de Mersenne, équivalent à 2^3 - 1, et égal à la forme 2*3 + 1.

Du coup, je découvre qu'on peut lier le nombre premier P dans les deux côtés de l'égalité : 2^P - 1 = kP + 1 Ainsi, pour mon calcul qui va suivre, je pose P >2, donc P est forcément un nombre premier impair.
Mon but est d'essayer de trouver des nombres premiers de Mersenne, je pose Q un nombre premier.

J'obtiens donc 2^Q - 1 = kP + 1, ce qui est simplifié sous la forme 2^Q = kP + 2.

Je ne suis pas sûr de te suivre là, tu cherches des nombres premiers de Mersenne du genre M_P = 2^P - 1 ?
Qu'en est-il de la décomposition en facteur premier kP+1 ? Est-ce le même P ?

Pulstars a écrit:

Là ça va devenir intéressant : on sait que pour tout P >= 3, que (2^Q - 1) modulo 10 = 1 ou 7.
Ensuite, afin de restreindre la multitude de cas possibles, et pour trouver une solution plus singulière, je pose k = P.

Ainsi, je pose 2^Q = P² + 2

Sachant que (2^Q - 1) modulo 10 = 1 ou 7, alors 2^Q modulo 10 = 2 ou 8.

C'est probablement vrai ce que tu dis mais je ne connaissais pas cette propriété des nombres de Mersenne (ils finissent toujours par 1 ou 7 ?)
edit :
Effectivement après une analyse rapide :
Appelons la suite v_n = 2^n \ 10
\ est la division euclidienne donnant le reste.
v_n est une suite périodique : 2, 4, 8, 6, 2, 4, 8, ...

Lorsque n est pair v_n vaut 4 ou 6.
Donc lorsque n est premier, il est a fortiori impair pour n>2, et donc v_n vaut 2 ou 8. CQFD

Pulstars a écrit:

Alors P² modulo 10 = 0 ou 6, or justement P est impair, donc son carré (P²) est aussi impair, ce qui exclut 0 et 6, donc il n'existe par d'égalité telle que 2^Q - 1 = P² + 1 avec Q et P premiers.

Y avait plus simple comme démonstration :
2^Q - 1 est impair
Si P est premier, P est impair pour P>2 et donc P² également, et P²+1 est donc pair. CQFD

Pulstars a écrit:

Ensuite, si on suppose que k est différent de P, alors la forme 2^P - 1 = kP + 1 donne l'égalité k = (2^P - 2)/P où le numérateur est toujours pair, et P toujours impair, ce qui a pour conséquence que k est pair.

Comme 2^P - 1 se termine toujours par 1 ou 7 pour P >= 3, alors la valeur du produit kP se termine toujours par 0 ou 6. Mais comme k est pair, alors kP est pair aussi, ce qui admet bien l'une des deux valeurs : 0 ou 6, donc kP est un multiple de 5 ou un multiple de 6.

Quel est le théorème que tu voulais démontrer ?
Si M_P est un nombre de Mersenne, alors il se décompose de la manière suivante :
M_P = kP+1
kP est divisible par 5 ou par 6 pour P >3 ?

Pulstars a écrit:

J'ai conçu des nombres premiers P tels que P = x²-x-1, avec x supérieur ou égal à 3.

Voici les premiers nombres premiers obtenus, je les appelle nombres premiers d'or : 5 11 19 29 41 71 89 109 131 181 239 271.

Je préfère reformuler, en introduisant unes uite u_n = n²-n-1 défini pour n>2
Donc la suite commence pour u_3=5
Je constate que tu exclus le terme u_8=55 ainsi que u_13=155, u_18=305.

Pulstars a écrit:

Nombres premiers d'or, parce que la fonction x²-x-1 lorsqu'elle s'annule, a pour solution positive le fameux nombre d'or.

Enfin... la racine positive de ce polyôme est le nombre d'or.

Pulstars a écrit:

Ces nombres premiers se terminent tous, à l'exception du nombre premier 5, par le chiffre 1 ou 9 en écriture décimale. C'est prouvé par le calcul informatique en langage Perl, par mes soins, mais le calcul modulaire démontre que c'est vrai pour tout nombre premier supérieur ou égal à 11, de la forme x²-x-1.

Là j'ai une question, est-ce que tu t'intéresses seulement à la suite u_n avec n entier premier ou non ?
Pour moi en mathématique, il n'y a pas de preuve par le calcul.

u_23 = 505 qui finit par 5...
u_43 = 1805

Pulstars a écrit:

Sachant qu'un nombre premier de Mersenne peut s'écrire sous la forme 2^P - 1 = kP +1 avec k un nombre pair multiple de 5 ou 6, et P premier, (j'ai pu le démontrer)

Je ne suis pas trop d'accord pour l'instant avec ta démonstration.

Pulstars a écrit:

alors je considère un nombre premier de Mersenne exclusivement terminé par le chiffre 1 en base décimale afin de satisfaire l'égalité, puisque les grands nombres premiers de Mersenne se terminent par le chiffre 1 ou 7.

(2^P - 1) mod 10 = 1 donc 2^P = 10wP + 2 ou 12 wP + 2 quelque soit w un entier positif non nul.

2^(P - 1) = 5wP + 1 ou 6wP + 1 avec 2^(P-1) mod 10 = 1

Ainsi on a pour z = 5 ou 6 la solution suivante : (zwP + 1) mod 10 = 1

Alors on trouve zwP modulo 10 = 0, ce qui signifie que zwP est divisible par 5. Solution : z = 5.

Cela signifie qu'il existe, en toute cohérence, des nombres premiers de Mersenne 2^P - 1 qui sont égaux à la valeur 10wP+2, que l'on peut factoriser ainsi : 2(5wP +1).

Je n'ai pas suivi les calculs et je rebondis sur la conclusion :
2^P-1 = 10wP+2 ???
à gauche c'est impair et à droite c'est pair ?

Pulstars a écrit:

Conséquence : wP modulo 10 = 5, ce détail étant important pour la recherche du nombre premier 2^P - 1 avec P premier.

Ainsi je conjecture qu'il existe des nombres premiers de Mersenne (tous terminés par le chiffre 1 en écriture décimale) de la forme 2^P - 1 = x² - x - 1 = 2(5wP + 1) avec w et x des entiers positifs non nuls.

Pour moi ça m'a l'air faux.

Pulstars a écrit:

Mes découvertes du jour :

Conjectures, seraient plus appropriées, mais tu aurais pu fournir la démonstration.

Pulstars a écrit:

* il n'existe pas de nombres premiers Q tels que Q = P³-P²-P-1 où P est aussi un nombre premier.

Ca c'est assez évident, tu pouvais le démontrer.
Hyp : P = 2, alors Q = 1, Q n'est pas premier.
Hyp P>2, alors P impair, puisque P est premier.
P^3 impair, P^2 impair, P impair, et 1 impair, donc Q = P^3-P^2-P-1 est pair, donc Q n'est pas premier.
Si Q est premier, P est nécessairement pair, donc P est non premier.

Pulstars a écrit:

* il n'existe pas de nombres premiers de Mersenne (supérieurs à 5) de la forme P³-P-1.

En d'autres termes :
Soit P un nombre permier, alors il n'existe aucun k premier, tel que 2^k - 1 est premier et 2^k-1 = P^3-P-1
Soit : 2^k = P(P-1)(P+1)
Si c'était le cas, il faut trouver un produit de 3 nombres consécutifs se factorisant que par 2, ce qui est faux puisque l'un au moins serait un nombre impair.

Pulstars a écrit:

* il n'existe pas de nombre premier de Mersenne égal à la somme de deux nombres premiers de Mersenne à laquelle on ajoute 1.

Supposons le contraire : supposons que pour M_n on a deux nombres de Mersenne M_p et M_q s'écrivant :
2^n - 1 = 2^p - 1 + 2^q - 1 +1
2^n = 2^p + 2^q
C'est possible que si p=q
On suppose par exemple que p > q
2^p + 2^q = 2^q(2^(p-q) + 1)
Si on veut que ce soit une puissance de 2, il faut que 2^(p-q) + 1 soit pair, donc p=q.
Donc on reformule :
Il n'existe aucun nombre premier de Mersenne s'écrivant :
M_n = 2 * M_q +1 = 2^(q+1) - 1
Donc n = q+1
Avec M_q premier et M_n premier. (ça doit être plus simple à démontrer).

Pulstars a écrit:

J'ai conçu un programme qui calcule les derniers chiffres (en écriture décimale) d'un nombre de Mersenne.

Il semble évident que pour tout P premier supérieur à 5, alors l'avant-dernier chiffre d'un nombre de Mersenne (premier ou composé) 2^P - 1 n'est jamais 3 ni 6.

Je ne vois pas trop l'intérêt, surtout que ce n'est valable qu'en système décimal.

Pulstars a écrit:

L'hypothèse est vraie pour tous les nombres premiers de Mersenne actuellement connus supérieurs à 5.
L'hypothèse est vraie aussi pour tous les nombres de Mersenne composés et premiers dans l'intervalle de P = 7 à P = 357817.

Considérant l'intervalle P = 7 à P = 357817, les avant-derniers chiffres de 2^P - 1 avec P premier sont à peu près tous équiprobables (chacun des chiffres de 0 à 9 apparaît environ 3830 fois dans l'intervalle, sauf les chiffres 3 et 6 qui sont absents).

Là comme ça, c'est moins évident.

Le petit théorème de Fermat :

« Si a est un entier non divisible par p tel que p est un nombre premier, alors a^p-1 - 1 est un multiple de p. Un corollaire de ce théorème est que pour tout a entier et p premier, a^p - a est un multiple de p. »


En reprenant "a^p - a est un multiple de p", je pose k un entier positif non nul.

J'obtient ceci : a^p = kp + a

Donc : a^p - 1 = kp + a - 1 équivalent à a^(p-1) - 1 = kp


Avec a = 2, et p = 7, on vérifie : 2^6 - 1 = 7k = 63 = 7 * 9 donc on a k = 9

Mais pour en revenir à M_p = kp + 1 c'est bien de ça que je voulais parler.

Exemples :
2^3 - 1 = 7 = (2 * 3) + 1
2^5 - 1 = 31 = (6 * 5) + 1
2^7 - 1 = 127 = (18 * 7) + 1


Néanmoins, il est peu évident d'écrire des équations avec clarté dans le forum, il peut arriver d'écrire des erreurs de frappe. Le format LaTeX présente mieux.

Pour résumer l'objectif de ces calculs, c'est pour tenter de trouver de nouveaux nombres premiers de Mersenne par l'algèbre. Mais avec le petit théorème de Fermat, on n'arrive qu'à une tautologie. Je ne sais pas si c'est possible de générer des nombres premiers de Mersenne avec un polynôme (je connais des cas étonnants et célèbres de la forme ax² - bx + c). Le meilleur moyen de trouver de tels nombres est le calcul distribué comme le projet GIMPS.

Avec un pc de bureau de 3 GHz, il faut un temps très long, de longues années, pour pouvoir trouver des nombres premiers de Mersenne, ces nombres sont formés de plus de 12 millions de chiffres en base décimale.

Néanmoins j'ai réussi à écrire un programme qui calcule les derniers chiffres des nombres de Mersenne sans toutefois pouvoir déterminer si les nombres sont premiers ou non, parce que le calcul ne dévoile qu'une infime partie des chiffres composant le nombre.

Voici quelques exemples :

Voici les prochains nombres de Mersenne de la forme 2p-1 où p est un nombre premier. J'ignore cependant si ces nombres de Mersenne sont premiers.

2^43112609 - 1 : derniers chiffres = ***97152511
2^43112621 - 1 : derniers chiffres = ***36689151
2^43112623 - 1 : derniers chiffres = ***46756607
2^43112639 - 1 : derniers chiffres = ***41061887
2^43112651 - 1 : derniers chiffres = ***89493247
2^43112681 - 1 : derniers chiffres = ***43204351
2^43112743 - 1 : derniers chiffres = ***44958207
2^43112791 - 1 : derniers chiffres = ***28264447
2^43112803 - 1 : derniers chiffres = ***71179007
2^43112827 - 1 : derniers chiffres = ***91881727
2^43112837 - 1 : derniers chiffres = ***86889471
2^43112857 - 1 : derniers chiffres = ***14991871
2^43112869 - 1 : derniers chiffres = ***06707711
2^43112921 - 1 : derniers chiffres = ***04465151
2^43112929 - 1 : derniers chiffres = ***43078911
2^43112947 - 1 : derniers chiffres = ***78307327
2^43112977 - 1 : derniers chiffres = ***99286271
2^43112981 - 1 : derniers chiffres = ***88580351
2^43112989 - 1 : derniers chiffres = ***76570111
2^43112999 - 1 : derniers chiffres = ***07794687
2^43113013 - 1 : derniers chiffres = ***08168191
2^43113023 - 1 : derniers chiffres = ***64228607
2^43113041 - 1 : derniers chiffres = ***44215551

Et concernant l'équation x² - x - 1, je précise que je recherchais seulement les nombres premiers parmi les résultats obtenus, et non pas tous les termes, d'où l'absence des termes qui sont multiples de 5. Puisque seuls les nombres premiers étaient l'objet de ma recherche.

Et concernant la forme 2^x - 1 = kx + 1, il suffit peut-être que x soit impair pour que l'égalité soit satisfaite.

Exemple : je prends un nombre composé impair x = 15 = 3 * 5

2^15 - 1 = 32767 = 15 * w + 1 or w n'est pas entier, et le nombre 32766 n'a pas le nombre 15 parmi ses diviseurs.

Et quand je formule une affirmation de départ, c'est plutôt une conjecture, laquelle doit être l'objet de recherches.

Souvent j'observe une particularité lors de calculs faits par le pc. Les calculs eux-mêmes ne prouvent rien. Mais l'algèbre peut amener la preuve ou l'infirmation de l'hypothèse supposée.

Par exemple, la forme x² - x - 1 > 5, je prends le dernier chiffre de la valeur du nombre impair x.
Si x se termine par 1, alors x² - x - 1 est un nombre qui se termine par 9.
Si x se termine par 3, alors x² - x - 1 est un nombre qui se termine par 5 : primalité exclue car multiple de 5
Si x se termine par 5, alors x² - x - 1 est un nombre qui se termine par 9.
Si x se termine par 7, alors x² - x - 1 est un nombre qui se termine par 1.
Si x se termine par 9, alors x² - x - 1 est un nombre qui se termine par 1.

Ainsi, quand je suis à la quête des nombres premiers de la forme x² - x - 1, je ne retiens pas les nombres qui se terminent par le chiffre 5.

Concernant les nombres premiers de Mersenne supérieurs à 5, j'ai la certitude qu'ils se terminent tous par le chiffre 1 ou 7. Je pourrai indiquer une justification ultérieurement.

De même, pour les nombres premiers de Mersenne supérieurs à 5, j'observe que l'avant-dernier chiffre (en base 10) de chacun des nombres de Mersenne connu n'est jamais 3 ni 6. Par contre, pour cette particularité, je ne sais pas l'expliquer.

Voici les nombres premiers de la forme x² - x - 1 avec un entier supérieur à 2 :
5
11
19
29
41
71
89
109
131
181
239
271
379
419
461
599
701
811
929
991
1259
1481
1559
1721
1979
2069
2161
2351
2549
2861
2969
3079
3191
3539
3659
4159
4289
4421
4691
4969
5851
6971
7309
7481
8009
8741
8929
9311

Cependant, on peut offrir une autre définition selon laquelle les nombres premiers de la forme x² - x - 1 sont construits à partir de valeurs de x qui sont eux aussi des nombres premiers :

5 = 3² - 3 - 1
19 = 5² - 5 - 1
41 = 7² - 7 - 1
109 = 11² - 11 - 1
271 = 17² - 17 - 1
811 = 29² - 29 - 1
929 = 31² - 31 - 1
2161 = 47² - 47 - 1
3659 = 61² - 61 - 1
4421 = 67² - 67 - 1
4969 = 71² - 71 - 1
9311 = 97² - 97 - 1


On le voit, ce sont deux définitions différentes, où la différence réside dans le fait que x soit premier ou pas.

La prédictibilité des nombres premiers inconnus est un vieux problème.

Je connais l'exemple de f(n) = A^(3^n) où A est un réel, et n un entier. A est une constante, et l'on obtient des nombres premiers f(n).

Le problème réside dans le nombre de décimales connue dans A. Or, cette constante se contruit à partir de la connaissance de nouveaux nombres premiers. Bref, rechercher des nombres premiers facilement relève de la tautologie...

Je pense que les polynômes peuvent donner une quantité finie de nombres premiers (consécutifs ou non) à chaque incrémentation de la valeur de l'abscisse, mais jamais des polynômes selon moi ne pourront donner tous les nombres premiers.



Autres conjectures :

* il n'existe pas de nombres premiers jumeaux de Mersenne de la forme (2^P - 1) + 2 = 2^Q - 1. Cependant, il peut évidemment exister des couples de premiers jumeaux de la forme 2^P - 1 et 2^P + 1.



Comme la différence entre les deux nombres premiers jumeaux de Mersenne est minimum, alors je conjecture que Q = P + 2.
Ainsi, on obtient 2^P + 2 = 2^(P+2) dans lequel P ni P+2 n'ont aucune solution entière.


* il n'existe pas a priori de nombre premier Q tel que Q = P(P+6) + 2 où P et P+6 sont des nombres premiers sexys.

(1(6+1)+2) modulo 10 = 9 Par exemple : 11 * 17 + 2 = 189 = 3 * 63 (je pense que si P modulo 10 = 1, alors Q est un multiple de 9).
(3(6+3)+2) modulo 10 = 4 pair, donc exclu
(7(6+7)+2) modulo 10 = 8 pair, donc exclu
(9(6+9)+2) modulo 10 = 2 pair, donc exclu

d'où l'impossibilité présumée que Q soit un nombre premier.




* un nombre composé de Mersenne n'est jamais un carré.

2^P - 1 = (2k+1)² = 4k²+4k+1 = 4(k(k+1)) + 1

donc 2^P - 2 = 4(k(k+1))

donc 2^(P-2) - 1/2 = k(k+1)

alors comme 2^(P-2) est entier et comme k(k+1) est entier aussi, la différence des deux doit nécessairement être un entier.
Or la différence vaut 1/2.

Donc un nombre composé de Mersenne (avec P impair, premier ou composé) n'est jamais un carré.

ce qui exclut que k et P puissent être entiers ensemble.



* soit P et Q deux nombres premiers cousins (où Q = P+4), alors (P.Q + 2) modulo 10 = 3 ou 9. Alors P(P+4)+2 n'est JAMAIS un nombre premier de Mersenne, parce que le dernier chiffre de tels nombres en base 10 finit par un 3 ou un 9, car j'ai la preuve qu'un nombre premier de Mersenne supérieur à 5 finit toujours par le chiffre 1 ou 7.

Pulstars a écrit:

Et concernant l'équation x² - x - 1, je précise que je recherchais seulement les nombres premiers parmi les résultats obtenus, et non pas tous les termes, d'où l'absence des termes qui sont multiples de 5. Puisque seuls les nombres premiers étaient l'objet de ma recherche.

Quel est l'intérêt de cette équation ?
Tu peux parfaitement définir une suite définie par un polynôme u_n = a_n * n^k + ... + a_0 et ne t'intéresser qu'aux nombres premiers...

Pulstars a écrit:

Et concernant la forme 2^x - 1 = kx + 1, il suffit peut-être que x soit impair pour que l'égalité soit satisfaite.

si x est impair, le membre de gauche est impair (pour x>0) et pour le membre de droite tout dépend de la parité de k (k pair alors ok, k impair c'est impossible)

Pulstars a écrit:

Exemple : je prends un nombre composé impair x = 15 = 3 * 5

2^15 - 1 = 32767 = 15 * w + 1 or w n'est pas entier, et le nombre 32766 n'a pas le nombre 15 parmi ses diviseurs.

oui mais qu'est-ce que tu veux montrer ?
Si 2^k - 1 est premier, alors 2^k-2 est divisible par k ?

Pulstars a écrit:

Et quand je formule une affirmation de départ, c'est plutôt une conjecture, laquelle doit être l'objet de recherches.

Souvent j'observe une particularité lors de calculs faits par le pc. Les calculs eux-mêmes ne prouvent rien. Mais l'algèbre peut amener la preuve ou l'infirmation de l'hypothèse supposée.

Par exemple, la forme x² - x - 1 > 5, je prends le dernier chiffre de la valeur du nombre impair x.
Si x se termine par 1, alors x² - x - 1 est un nombre qui se termine par 9.
Si x se termine par 3, alors x² - x - 1 est un nombre qui se termine par 5 : primalité exclue car multiple de 5
Si x se termine par 5, alors x² - x - 1 est un nombre qui se termine par 9.
Si x se termine par 7, alors x² - x - 1 est un nombre qui se termine par 1.
Si x se termine par 9, alors x² - x - 1 est un nombre qui se termine par 1.

Ainsi, quand je suis à la quête des nombres premiers de la forme x² - x - 1, je ne retiens pas les nombres qui se terminent par le chiffre 5.

ok

Pulstars a écrit:

Concernant les nombres premiers de Mersenne supérieurs à 5, j'ai la certitude qu'ils se terminent tous par le chiffre 1 ou 7. Je pourrai indiquer une justification ultérieurement.

pas besoin je l'ai déjà fait.

Pulstars a écrit:

De même, pour les nombres premiers de Mersenne supérieurs à 5, j'observe que l'avant-dernier chiffre (en base 10) de chacun des nombres de Mersenne connu n'est jamais 3 ni 6. Par contre, pour cette particularité, je ne sais pas l'expliquer.

moi non plus.

Je peux également démontrer qu'il n'existe aucun nombre de Mersenne 2^p - 1 de la forme 4n + 1, et par extension, tout nombre de Mersenne n'est jamais la somme de deux carrés.

En examinant le théorème d'Euler selon lequel tout nombre premier de la forme 4n + 1 est la somme de deux carrés, il n'en est pas de même pour les nombres premiers de Mersenne.

2^p - 1 = 4n + 1

donc 2^p - 2 = 4n

ainsi : 2^(p-2) - 1/2 = n

or justement, n est entier et p est un entier, de même que 2^(p-2), mais l'égalité montre que 2^(p-2) - n = 1/2.

Ainsi , il n'existe aucun nombre de Mersenne 2^p - 1 de la forme 4n + 1, et par extension, tout nombre de Mersenne n'est jamais la somme de deux carrés.

Pulstars a écrit:

Le problème réside dans le nombre de décimales connue dans A. Or, cette constante se contruit à partir de la connaissance de nouveaux nombres premiers. Bref, rechercher des nombres premiers facilement relève de la tautologie...

je n'ai pas compris cette phrase

Pulstars a écrit:

Je pense que les polynômes peuvent donner une quantité finie de nombres premiers (consécutifs ou non) à chaque incrémentation de la valeur de l'abscisse, mais jamais des polynômes selon moi ne pourront donner tous les nombres premiers.

Il n'y a pas des travaux sur ce sujet déjà ?

Pulstars a écrit:

Autres conjectures :

* il n'existe pas de nombres premiers jumeaux de Mersenne de la forme (2^P - 1) + 2 = 2^Q - 1. Cependant, il peut évidemment exister des couples de premiers jumeaux de la forme 2^P - 1 et 2^P + 1.

C'est même évident.
En poursuivant ton inégalité on a :
2^P = 2^Q - 2 = 2(2^(Q-1) - 1)
Pour que 2^(Q-1) - 1 soit pair... il faut que Q=0.

Pulstars a écrit:

Comme la différence entre les deux nombres premiers jumeaux de Mersenne est minimum, alors je conjecture que Q = P + 2.
Ainsi, on obtient 2^P + 2 = 2^(P+2) dans lequel P ni P+2 n'ont aucune solution entière.

Bizarre comme raisonnement... surtout la conjecture... ça perd toute sa généralité.

Pulstars a écrit:

* il n'existe pas a priori de nombre premier Q tel que Q = P(P+6) + 2 où P et P+6 sont des nombres premiers sexys.

(1(6+1)+2) modulo 10 = 9 Par exemple : 11 * 17 + 2 = 189 = 3 * 63 (je pense que si P modulo 10 = 1, alors Q est un multiple de 9).

Pour montrer que ce serait un multiple de 9 il faudrait raisonner en modulo 9...

Pulstars a écrit:

(3(6+3)+2) modulo 10 = 4 pair, donc exclu

Il faudra que tu m'expliques comment tu obtiens un nombre pair en faisant le produit de 2 nombre impairs et une somme d'un nombre pair...
En l'occurrence c'est un 9 au lieu d'un 4 (3(6+3)+2 = 29...)

Pulstars a écrit:

(7(6+7)+2) modulo 10 = 8 pair, donc exclu

idem ça finit par un 3.

Pulstars a écrit:

(9(6+9)+2) modulo 10 = 2 pair, donc exclu

idem ça finit par un 7...

Pulstars a écrit:

d'où l'impossibilité présumée que Q soit un nombre premier.

il y a des erreurs dans ta démo.

Pulstars a écrit:

* un nombre composé de Mersenne n'est jamais un carré.

2^P - 1 = (2k+1)² = 4k²+4k+1 = 4(k(k+1)) + 1
donc 2^P - 2 = 4(k(k+1))

donc 2^(P-2) - 1/2 = k(k+1)

alors comme 2^(P-2) est entier et comme k(k+1) est entier aussi, la différence des deux doit nécessairement être un entier.
Or la différence vaut 1/2.

a priori ok

Pulstars a écrit:

Donc un nombre composé de Mersenne (avec P impair, premier ou composé) n'est jamais un carré.

ce qui exclut que k et P puissent être entiers ensemble.



* soit P et Q deux nombres premiers cousins (où Q = P+4), alors (P.Q + 2) modulo 10 = 3 ou 9. Alors P(P+4)+2 n'est JAMAIS un nombre premier de Mersenne, parce que le dernier chiffre de tels nombres en base 10 finit par un 3 ou un 9, car j'ai la preuve qu'un nombre premier de Mersenne supérieur à 5 finit toujours par le chiffre 1 ou 7.

on peut en écrire des milliers des propriétés de ce genre.
Travailler sur des nombres premiers de Mersenne c'est assez limité non ?

Citation :

Pulstars a écrit:
Je pense que les polynômes peuvent donner une quantité finie de nombres premiers (consécutifs ou non) à chaque incrémentation de la valeur de l'abscisse, mais jamais des polynômes selon moi ne pourront donner tous les nombres premiers.

Il n'y a pas des travaux sur ce sujet déjà ?

Sur les polynômes, oui, il existe déjà des travaux. Mais je pense que rechercher une formule miracle donnant tous les nombres premiers est une chimère.

Citation :

Bref, rechercher des nombres premiers facilement relève de la tautologie...

je n'ai pas compris cette phrase

Je parle de tautologie au sens où l'on tourne en rond, un cercle vicieux duquel n'apparait aucune connaissance nouvelle.

Citation :

* il n'existe pas a priori de nombre premier Q tel que Q = P(P+6) + 2 où P et P+6 sont des nombres premiers sexys.

(1(6+1)+2) modulo 10 = 9 Par exemple : 11 * 17 + 2 = 189 = 3 * 63 (je pense que si P modulo 10 = 1, alors Q est un multiple de 9).

Pour montrer que ce serait un multiple de 9 il faudrait raisonner en modulo 9...

Je reformule : si P modulo 10 = 1, alors Q modulo 9 = 0.

Citation :

Pulstars a écrit:
(3(6+3)+2) modulo 10 = 4 pair, donc exclu
Il faudra que tu m'expliques comment tu obtiens un nombre pair en faisant le produit de 2 nombre impairs et une somme d'un nombre pair...
En l'occurrence c'est un 9 au lieu d'un 4 (3(6+3)+2 = 29...)
Pulstars a écrit:
(7(6+7)+2) modulo 10 = 8 pair, donc exclu
idem ça finit par un 3.
Pulstars a écrit:
(9(6+9)+2) modulo 10 = 2 pair, donc exclu
idem ça finit par un 7...

En effet il me semblait bien qu'il y avait un problème.
L'inconvénient de l'écriture sur clavier fait faire des fautes contrairement sur papier où tout est clair.
Dans les applications numériques, j'ai simplement réécrit incorrectement. De plus, les caractères sur l'écran sont écrits tout petits, je vais reconfigurer Firefox pour voir les caractères en plus gros, en tapant Ctrl ++. Et comme j'essaie de gagner du temps, j'écris vite, d'où un risque accru d'erreur qui me caractérise. Je devrais prendre mon temps.

(1(6+1)+2) modulo 10 = 9
(3(6+3)+2) modulo 10 = (9*3)+2 = 7 + 2 = 9
(7(6+7)+2) modulo 10 = (7*13) + 2 = 1+2 = 3
(9(6+9)+2) modulo 10 = (15*9) + 2 = 7

Donc, en reconsidérant la conjecture sur les nombres premiers sexys P et P+6 tels que Q = P(P+6)+2, nous sommes désormais d'accord pour dire que Q est toujours un nombre impair, mais jamais premier. Le calcul informatique livré à lui-même montre qu'il n'y aurait a priori aucun nombre Q premier, je pense que Q est un multiple impair.

C'est assez limité de travailler sur les nombres premiers de Mersenne par la recherche d'un polynôme idéal permettant de trouver des valeurs certaines de P pour lesquelles 2^P - 1 est certainement premier. Je pense que c'est vain, et que seul le calcul distribué (avec le projet GIMPS, de même genre que le projet SETI) est la seule solution immédiate.

Pulstars a écrit:

Sur les polynômes, oui, il existe déjà des travaux. Mais je pense que rechercher une formule miracle donnant tous les nombres premiers est une chimère.

En fait je voulais dire : "Il y a sûrement des travaux qui démontrent l'impossibilité de trouver une formule donnant les nombres premiers".
http://fr.wikipedia.org/wiki/Formules_pour_les_nombres_premiers

Pulstars a écrit:

Je reformule : si P modulo 10 = 1, alors Q modulo 9 = 0.

Pas d'accord.
81 modulo 10 = 1
81 modulo 9 = 0 ok

Mais...
11 ne marche pas, 21 non plus, 31 non plus etc...

Pulstars a écrit:

(1(6+1)+2) modulo 10 = 9
(3(6+3)+2) modulo 10 = (9*3)+2 = 7 + 2 = 9
(7(6+7)+2) modulo 10 = (7*13) + 2 = 1+2 = 3
(9(6+9)+2) modulo 10 = (15*9) + 2 = 7

Donc, en reconsidérant la conjecture sur les nombres premiers sexys P et P+6 tels que Q = P(P+6)+2, nous sommes désormais d'accord pour dire que Q est toujours un nombre impair, mais jamais premier. Le calcul informatique livré à lui-même montre qu'il n'y aurait a priori aucun nombre Q premier, je pense que Q est un multiple impair.

Jamais premier ? Pas sûr...

Pulstars a écrit:

C'est assez limité de travailler sur les nombres premiers de Mersenne par la recherche d'un polynôme idéal permettant de trouver des valeurs certaines de P pour lesquelles 2^P - 1 est certainement premier. Je pense que c'est vain, et que seul le calcul distribué (avec le projet GIMPS, de même genre que le projet SETI) est la seule solution immédiate.

Tiens... un algo facile à programmer : la conjecture de Syracuse.

http://fr.wikipedia.org/wiki/Conjecture_de_Syracuse

Citation :

Donc, en reconsidérant la conjecture sur les nombres premiers sexys P et P+6 tels que Q = P(P+6)+2, nous sommes désormais d'accord pour dire que Q est toujours un nombre impair, mais jamais premier. Le calcul informatique livré à lui-même montre qu'il n'y aurait a priori aucun nombre Q premier, je pense que Q est un multiple impair.

Jamais premier ? Pas sûr...

Pas sûr, en effet. Mais les premiers tests montrèrent que le début du calcul informatique ne donnent pas de nombres premiers. Néanmoins j'ai réécrit le programme et il semble évident qu'il y avait une erreur.

Je vais être très précis pour clarifier la situation :

Q = P(P + 6)+2

Lorsque P est un entier quelconque, on trouve plein de nombres P(P+6)+2 qui sont premiers.

3 (3 + 6) + 2 = 29 = premier
9 (9 + 6) + 2 = 137 = premier
15 (15 + 6) + 2 = 317 = premier
21 (21 + 6) + 2 = 569 = premier
33 (33 + 6) + 2 = 1289 = premier
45 (45 + 6) + 2 = 2297 = premier
51 (51 + 6) + 2 = 2909 = premier
57 (57 + 6) + 2 = 3593 = premier
63 (63 + 6) + 2 = 4349 = premier
87 (87 + 6) + 2 = 8093 = premier
93 (93 + 6) + 2 = 9209 = premier


Mais lorsque P et P(P+6)+2 sont rigoureusement premiers , je rencontre un seul cas :

3 (3 + 6) + 2 = 29 = premier , avec P = 3 = premier

Pour P > 3, je ne trouve aucun nombre P(P+6)+2 qui soit premier. Je pense avoir trouvé pourquoi : P est toujours un multiple de 3.

Ainsi, il n'existe aucun nombre premier P supérieur à 3, de la forme 3k. Cependant, avec P(P+6)+2 premier, de la forme 9k² + 18k + 2 on trouve de nombreux nombres premiers. Il existe cependant des nombres composés P(P+6)+2 de la forme 9k²+18k+2.



Concernant la conjecture de Syracuse, oui, facile à programmer.

Pulstars a écrit:

Q = P(P + 6)+2

Lorsque P est un entier quelconque, on trouve plein de nombres P(P+6)+2 qui sont premiers.

Comme tout polynome ayant que des racines non rationnels.

Pulstars a écrit:

Mais lorsque P et P(P+6)+2 sont rigoureusement premiers , je rencontre un seul cas :

3 (3 + 6) + 2 = 29 = premier , avec P = 3 = premier

Pour P > 3, je ne trouve aucun nombre P(P+6)+2 qui soit premier.

Peut-être que tu n'as pas poussé assez loin le calcul ?

Pulstars a écrit:

Je pense avoir trouvé pourquoi : P est toujours un multiple de 3.

Tu veux dire Q.

Pulstars a écrit:

Ainsi, il n'existe aucun nombre premier P supérieur à 3, de la forme 3k.

lol non c'est vrai (ce sont des multiples de 3). Tu voulais dire :
P premier et P(P+6)+2 = 6k+q avec q différent de 0 ?

Pulstars a écrit:

Cependant, avec P(P+6)+2 premier, de la forme 9k² + 18k + 2 on trouve de nombreux nombres premiers. Il existe cependant des nombres composés P(P+6)+2 de la forme 9k²+18k+2.

Là tu m'as perdu, je ne comprends plus ce que tu veux faire...

Pulstars a écrit:

Concernant la conjecture de Syracuse, oui, facile à programmer.

Mais très difficile à démontrer...

Citation :

Je pense avoir trouvé pourquoi : P est toujours un multiple de 3.
Tu veux dire Q.

Lorsque P est en entier quelconque, la valeur de Q peut être un nombre premier.
Quelques exemples :

9 (9 + 6) + 2 = 137 = Q premier, avec P = 9 = 3 * 3
15 (15 + 6) + 2 = 317 = Q premier, avec P = 15 = 3 * 5
21 (21 + 6) + 2 = 569 = Q premier, avec p = 21 = 3 * 7

C'est bien P ici qui est un multiple de 3.

Ensuite, lorsque P est premier, par exemple P = 3, j'avais donc trouvé que Q = P(P+6)+2 = 3(3+6)+2 = 29 = premier. C'est le seul cas jusqu'à présent où P et Q sont premiers.

Citation :

Peut-être que tu n'as pas poussé assez loin le calcul ?

Peut-être. Je vais laisser tourner le programme assez longtemps pour voir si je trouve d'autres cas premiers autres que P = 3 & Q = 29.

Citation :

Là tu m'as perdu, je ne comprends plus ce que tu veux faire...

Ce que je veux faire, c'est simple : trouver des couples (P, Q) qui sont premiers. Et s'il n'y en a pas d'autres que l'unique cas trouvé, je voudrais comprendre pourquoi c'est ainsi. Alors j'avais émis l'hypothèse que pour tout P > 3, il n'existe pas de P ni de Q qui soient premiers tels que Q = P(P+6)+2, c'est une conjecture à vérifier.

Au bout de 70 minutes de calcul informatique (des milliers de nombres testés), rien.

Si la conjecture est vraie pour tout P > 3, où tout P et Q sont composés, alors si je choisis un nombre premier P de façon à avoir Q = 2^x - 1, alors 2^x - 1 ne serait pas premier. En attendant, on sait juste que Q est premier pour tout P composé > 3.

Pour tout P premier > 3, alors si je prends P = 5 (premier) et P+6 = 5 + 6 = 11 (premier), alors Q = 5(5+6)+2 = 57 = 3 * 19 = composé.

Une autre condition : si P et premier, il faut aussi que P+6 le soit aussi. Ainsi, avec P = 3 (premier) on a Q = 29 (premier) mais P+6 = 9 = 3 * 3, donc la condition n'est pas du tout satisfaite. La définition des nombres premiers sexys, c'est un couple de nombres premiers ayant une différence de 6. Ainsi, Q = 29 n'est pas le produit de deux nombres premiers sexys plus 2.

Ainsi, je conjecture que pour tout P premier et P+6 premier, il n'existe pas de nombre premier P(P+6)+2.

Je conjecture qu'un nombre premier de Mersenne n'est jamais de la forme P(P+6)+2, avec P et P+6 premiers, et P > 2 (donc toujours impair).

Ainsi, je prends l'hypothèse contraire au départ, je suppose qu'il y ait égalité.

2^Q - 1 = P(P+6)+2 = P² + 6P + 2

2^Q - 1 - P² = 6P + 2 = 2(3P+1)

2^(Q-1) - 1/2 - P²/2 = 3P + 1

Analyse :

2^(Q - 1) est un entier pair.
3P+1 est un entier pair.

2^(Q-1) - (3P+1) = P²/2 + 1/2

La grandeur 2^(Q-1) - (3P+1) qui est la différence entre deux nombres pairs, est donc paire.

Mais P² est impair, or s'il avait été pair il aurait été divisible par 2. Donc P²/2 n'est pas entier. Et le nombre 1/2 non plus n'est pas entier.

En conclusion : un nombre de Mersenne (premier ou composé) n'est jamais égal au produit de deux nombres premiers sexys (P et P+6) auxquels on ajoute 2.

***

Concernant la conjecture de la non-primalité de Q tel que Q = P(P+6)+2 avec P et P+6 premiers, il semble qu'elle se vérifie aussi pour P et P+12, et pour P et P+18.

Ainsi, pour tout entier non nul K, alors P(P+6K)+2 n'est jamais premier, avec P et P+6K premiers.

Pulstars a écrit:

Je conjecture qu'un nombre premier de Mersenne n'est jamais de la forme P(P+6)+2, avec P et P+6 premiers, et P > 2 (donc toujours impair).

Ainsi, je prends l'hypothèse contraire au départ, je suppose qu'il y ait égalité.

2^Q - 1 = P(P+6)+2 = P² + 6P + 2

2^Q - 1 - P² = 6P + 2 = 2(3P+1)

2^(Q-1) - 1/2 - P²/2 = 3P + 1

Analyse :

2^(Q - 1) est un entier pair.
3P+1 est un entier pair.

2^(Q-1) - (3P+1) = P²/2 + 1/2

La grandeur 2^(Q-1) - (3P+1) qui est la différence entre deux nombres pairs, est donc paire.

Jusque là ok.

Pulstars a écrit:

Mais P² est impair, or s'il avait été pair il aurait été divisible par 2. Donc P²/2 n'est pas entier. Et le nombre 1/2 non plus n'est pas entier.

Je ne comprends pas cette partie. Ta démo est fausse.
P² est impair, P²+1 est pair et donc (P²+1)/2 est entier.
La seule contrainte est que tu veux que (P²+1)/2 entier pair.
P impair donc P = 2k+1
P²+1 = 4k²+4k +2
Tu veux que (P²+1)/2 pair : 2k²+2k+1 = 2(k²+k)+1 pair (contradiction).

Pulstars a écrit:

En conclusion : un nombre de Mersenne (premier ou composé) n'est jamais égal au produit de deux nombres premiers sexys (P et P+6) auxquels on ajoute 2.

ok pour la conclusion.

Pulstars a écrit:

***

Concernant la conjecture de la non-primalité de Q tel que Q = P(P+6)+2 avec P et P+6 premiers, il semble qu'elle se vérifie aussi pour P et P+12, et pour P et P+18.

Ainsi, pour tout entier non nul K, alors P(P+6K)+2 n'est jamais premier, avec P et P+6K premiers.

Essaie avec P(P+2n) + 2m
Avec (m,n) entiers, il y a peut-être des prorpiétés générales ?

Citation :

Pulstars a écrit:
Mais P² est impair, or s'il avait été pair il aurait été divisible par 2. Donc P²/2 n'est pas entier. Et le nombre 1/2 non plus n'est pas entier.


Je ne comprends pas cette partie. Ta démo est fausse.
P² est impair, P²+1 est pair et donc (P²+1)/2 est entier.
La seule contrainte est que tu veux que (P²+1)/2 entier pair.
P impair donc P = 2k+1
P²+1 = 4k²+4k +2
Tu veux que (P²+1)/2 pair : 2k²+2k+1 = 2(k²+k)+1 pair (contradiction).

Je récapitule. P est premier et P > 2, or comme les nombres premiers différents de 2 sont tous impairs, alors P est impair. Le carré d'un nombre impair est impair, donc P² est impair, donc P²+1 est pair.

En reconsidérant l'égalité : 2^(Q-1) - (3P+1) = P²/2 + 1/2

Voila qui est mieux : 2(2^(Q-1) - (3P+1)) = P² + 1

Ainsi, à gauche, c'est toujours pair. Et P²+1 est pair, donc il n'y a pas contradiction.




Voici les valeurs de Q lorsque P et P+6 sont rigoureusement premiers :

5 (5 + 6) + 2 = (5 * 11) + 2 = 57 = 3 * 19
7 (7 + 6) + 2 = (7 * 13) + 2 = 93 = 3 * 31
11 (11 + 6) + 2 = (11 * 17) + 2 = 189 = 3 * 3 * 7
13 (13 + 6) + 2 = (13 * 19) + 2 = 249 = 3 * 83
17 (17 + 6) + 2 = (17 * 23) + 2 = 393 = 3 * 131
23 (23 + 6) + 2 = (23 * 29) + 2 = 669
31 (31 + 6) + 2 = (31 * 37) + 2 = 1149
37 (37 + 6) + 2 = (37 * 43) + 2 = 1593
41 (41 + 6) + 2 = (41 * 47) + 2 = 1929
47 (47 + 6) + 2 = (47 * 53) + 2 = 2493
53 (53 + 6) + 2 = (53 * 59) + 2 = 3129
61 (61 + 6) + 2 = (61 * 67) + 2 = 4089
67 (67 + 6) + 2 = (67 * 73) + 2 = 4893
73 (73 + 6) + 2 = (73 * 79) + 2 = 5769
83 (83 + 6) + 2 = (83 * 89) + 2 = 7389
97 (97 + 6) + 2 = (97 * 103) + 2 = 9993
101 (101 + 6) + 2 = (101 * 107) + 2 = 10809
103 (103 + 6) + 2 = (103 * 109) + 2 = 11229
107 (107 + 6) + 2 = (107 * 113) + 2 = 12093
131 (131 + 6) + 2 = (131 * 137) + 2 = 17949
151 (151 + 6) + 2 = (151 * 157) + 2 = 23709
157 (157 + 6) + 2 = (157 * 163) + 2 = 25593
167 (167 + 6) + 2 = (167 * 173) + 2 = 28893
173 (173 + 6) + 2 = (173 * 179) + 2 = 30969
191 (191 + 6) + 2 = (191 * 197) + 2 = 37629
193 (193 + 6) + 2 = (193 * 199) + 2 = 38409
223 (223 + 6) + 2 = (223 * 229) + 2 = 51069
227 (227 + 6) + 2 = (227 * 233) + 2 = 52893
233 (233 + 6) + 2 = (233 * 239) + 2 = 55689
251 (251 + 6) + 2 = (251 * 257) + 2 = 64509
257 (257 + 6) + 2 = (257 * 263) + 2 = 67593
263 (263 + 6) + 2 = (263 * 269) + 2 = 70749
271 (271 + 6) + 2 = (271 * 277) + 2 = 75069
277 (277 + 6) + 2 = (277 * 283) + 2 = 78393


Il semble que Q soit toujours un multiple de 3 quand P et P+6 sont premiers.
Tandis que lorsque Q est premier, alors P est toujours un multiple de 3.

Fascinant, non ?

Pulstars a écrit:

Je récapitule. P est premier et P > 2, or comme les nombres premiers différents de 2 sont tous impairs, alors P est impair. Le carré d'un nombre impair est impair, donc P² est impair, donc P²+1 est pair.

En reconsidérant l'égalité : 2^(Q-1) - (3P+1) = P²/2 + 1/2

Voila qui est mieux : 2(2^(Q-1) - (3P+1)) = P² + 1

Ainsi, à gauche, c'est toujours pair. Et P²+1 est pair, donc il n'y a pas contradiction.

S'il n'y a pas contradiction comment tu peux conclure :

Citation :

En conclusion : un nombre de Mersenne (premier ou composé) n'est jamais égal au produit de deux nombres premiers sexys (P et P+6) auxquels on ajoute 2.

Il reste une subtilité dans la démo que tu n'as peut-être pas vu :

Citation :

En reconsidérant l'égalité : 2^(Q-1) - (3P+1) = P²/2 + 1/2 = (P²+1)/2

Dans le membre de gauche, tu as une différence de deux nombres pairs qui est pair.
Pour moi (P²+1)/2 est impair.
P impair donc P = 2k+1
P²+1 = 4k²+4k +2
(P²+1)/2 = 2(k(k+1)) + 1
Avec cette remarque, je valide donc :

Citation :

En conclusion : un nombre de Mersenne (premier ou composé) n'est jamais égal au produit de deux nombres premiers sexys (P et P+6) auxquels on ajoute 2.

Pulstars a écrit:

Il semble que Q soit toujours un multiple de 3 quand P et P+6 sont premiers.
Tandis que lorsque Q est premier, alors P est toujours un multiple de 3.

Fascinant, non ?

Je ne sais pas si ça a déjà été démontré ? (ça m'a pas l'air évident du tout).

Citation :

Pulstars a écrit:
Il semble que Q soit toujours un multiple de 3 quand P et P+6 sont premiers.
Tandis que lorsque Q est premier, alors P est toujours un multiple de 3.

Fascinant, non ?
Je ne sais pas si ça a déjà été démontré ? (ça m'a pas l'air évident du tout).

Je ne sais pas non plus si cela a été démontré.
Ma découverte est seulement une observation des résultats affichés par le programme. Le démontrer est parfois plus complexe. Généralement, la distribution des nombres premiers est logarithmique, la fréquence au niveau du nombre N est d'environ un nombre premier tous les log N. Aussi, la quantité de nombres premiers avant N est d'environ N/log N. On pense généralement que les nombres premiers sont répartis aléatoirement, il est impossible de les calculer tous à partir d'une formule passe-partout.

Mais le fait que le produit de deux nombres premiers sexys P et P+6 (plus 2) ne donne a priori jamais de nombres premiers P(P+6)+2 c'est troublant.

Pulstars a écrit:

Voici les valeurs de Q lorsque P et P+6 sont rigoureusement premiers :

5 (5 + 6) + 2 = (5 * 11) + 2 = 57 = 3 * 19
7 (7 + 6) + 2 = (7 * 13) + 2 = 93 = 3 * 31
11 (11 + 6) + 2 = (11 * 17) + 2 = 189 = 3 * 3 * 7
13 (13 + 6) + 2 = (13 * 19) + 2 = 249 = 3 * 83
17 (17 + 6) + 2 = (17 * 23) + 2 = 393 = 3 * 131
23 (23 + 6) + 2 = (23 * 29) + 2 = 669
31 (31 + 6) + 2 = (31 * 37) + 2 = 1149
37 (37 + 6) + 2 = (37 * 43) + 2 = 1593
41 (41 + 6) + 2 = (41 * 47) + 2 = 1929
47 (47 + 6) + 2 = (47 * 53) + 2 = 2493
53 (53 + 6) + 2 = (53 * 59) + 2 = 3129
61 (61 + 6) + 2 = (61 * 67) + 2 = 4089
67 (67 + 6) + 2 = (67 * 73) + 2 = 4893
73 (73 + 6) + 2 = (73 * 79) + 2 = 5769
83 (83 + 6) + 2 = (83 * 89) + 2 = 7389

etc...

97 (97 + 6) + 2 = (97 * 103) + 2 = 9993
101 (101 + 6) + 2 = (101 * 107) + 2 = 10809
103 (103 + 6) + 2 = (103 * 109) + 2 = 11229
107 (107 + 6) + 2 = (107 * 113) + 2 = 12093
131 (131 + 6) + 2 = (131 * 137) + 2 = 17949
151 (151 + 6) + 2 = (151 * 157) + 2 = 23709
157 (157 + 6) + 2 = (157 * 163) + 2 = 25593
167 (167 + 6) + 2 = (167 * 173) + 2 = 28893
173 (173 + 6) + 2 = (173 * 179) + 2 = 30969
191 (191 + 6) + 2 = (191 * 197) + 2 = 37629
193 (193 + 6) + 2 = (193 * 199) + 2 = 38409
223 (223 + 6) + 2 = (223 * 229) + 2 = 51069
227 (227 + 6) + 2 = (227 * 233) + 2 = 52893
233 (233 + 6) + 2 = (233 * 239) + 2 = 55689
251 (251 + 6) + 2 = (251 * 257) + 2 = 64509
257 (257 + 6) + 2 = (257 * 263) + 2 = 67593
263 (263 + 6) + 2 = (263 * 269) + 2 = 70749
271 (271 + 6) + 2 = (271 * 277) + 2 = 75069
277 (277 + 6) + 2 = (277 * 283) + 2 = 78393


Il semble que Q soit toujours un multiple de 3 quand P et P+6 sont premiers.
Tandis que lorsque Q est premier, alors P est toujours un multiple de 3.

Fascinant, non ?

En fait ça se démontre aussi.
Tu peux remarquer que tout nombre n impair tel que n = 2 modulo 3
n(n+6)+2 = 0 modulo 3

En effet :
n = 3k+2 Sachant que k = 2m+1 (k est impair pour que n le soit).
n = 6m + 5
n+6 = 6m + 11
Et donc : f(n)=n(n+6)+2 = 36k²+96k+57 = 3M
M = 12k²+32k+19

Là tu concèdes bien que si n est premier (impair et vaut 2 modulo 3), alors l'opération que tu as définie : f(n) est divisible par 3.
Ca explique les lignes que j'ai mises en gras.
Est-ce que ça marche pour n = 1 modulo 3 ??

Oui :
n = 3k+1 Sachant que k = 2m (k est pair pour que n soit impair).
n = 6m + 1
n+6 = 6m + 7
Et donc : f(n)=n(n+6)+2 = 36k²+48k+9 = 3N
N = 12k²+16k+3
CQFD