Primalité de nombres palindromes

Pour N un entier positif, j'ai imaginé des nombres de la forme 10^N + 1.

Pour N = 1 alors 10^1 + 1 = 11 c'est un nombre premier
Pour N = 2 alors 10^2 + 1 = 101 c'est un nombre premier

Mais pour N > 2 il semblerait que la forme 10^N + 1 soit un nombre composé (donc formé d'au moins deux facteurs premiers).

Par le calcul informatique, j'ai vérifié jusqu'à N = 308, et je ne trouve a priori aucun nombre premier 10^N + 1 pour N > 2.

Bongo1981, qu'en penses-tu ? Existe t-il des nombres premiers 10^N + 1 pour N > 2 ?

Je n'en sais rien, mais ça reste un résultat peu généralisable, étant donné que l'on reste cantonné à notre façon de compter : en base 10.

Pour améliorer les choses, je pense que tu peux travailler dans une base b, te demander pour les nombres du type :
c_n = b^n + 1
Si c_n est premier.
Une façon de le faire serait de montrer que si c_n n'est pas premier, alors c_(n+1) ne l'est pas (ce qui pourrait répondre à ta question avec b=10).

Par contre... je trouve ça décevant de parler de palindrome, alors que c'est juste des nombres qui commencent par un 1, suivi de zéros et qui finissent par un 1.

Peut-être que le nom de palindrome n'est pas adapté, mais c'est le seul nom qui m'est venu à l'idée pour nommer ce cas particulier.

Un palindrome, par définition, se lit aussi bien de gauche à droite que de droite à gauche. Cela s'applique aussi à 10^n + 1, mais comme il n'y a que des zéros entre le 1 initial et le 1 final, ce n'est pas forcément ce nom qui conviendrait le mieux.

Oui mais là tu compares deux propriétés qui n'ont rien à voir.

Un nombre premier est un nombre divisible que par lui-même et 1 dans n'importe quelle base.

Un nombre palindrome est un nombre palindrome, seulement dans la base que tu considères.

C'est comme si tu voulais chercher tous les mots à 5 lettres pour dire "maman" dans toutes les langues et tirer des propriétés.

Donc la critique majeure que je fais c'est la non-portabilité.

Pour préciser, j'opérais seulement en base décimale.

Ca je l'ai bien compris, et c'est pourquoi j'essaie de faire des critiques constructives : transformer un problème de numérologie, en un énoncé de mathématique avec une portée.

De la numérologie ? Tu déconnes ? Moi ce que je recherche ce sont des nombres premiers, et cela fait partie de la théorie des nombres et de l'arithmétique !