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 Mathématiques - Démonstration - Nombres premiers de Mersenne

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MessageSujet: Mathématiques - Démonstration - Nombres premiers de Mersenne   Mathématiques - Démonstration - Nombres premiers de Mersenne - Page 2 Icon_minitimeSam 7 Mai 2011 - 14:02

Rappel du premier message :

Voici une exploration sur les nombres premiers de Mersenne. Comme aucune rubrique sur les maths n'avait encore été créée, je la poste par défaut dans la rubrique de la philosophie générale.



Les facteurs premiers d'un nombre de Mersenne composé sont de la forme kP + 1 avec P un nombre premier, et k un entier positif non nul.

Ainsi, si un nombre de Mersenne est lui-même premier, il admet alors un seul facteur premier qui est ainsi unique : kP + 1.

* 31 est un nombre premier de Mersenne, équivalent à 2^5 - 1, et égal à la forme 6*5 + 1, où k = 6 et P = 5.
* 127 est un nombre premier de Mersenne, équivalent à 2^7 - 1, et égal à la forme 18*7 + 1, où k = 18 et P = 7.
* 7 est un nombre premier de Mersenne, équivalent à 2^3 - 1, et égal à la forme 2*3 + 1.

Du coup, je découvre qu'on peut lier le nombre premier P dans les deux côtés de l'égalité : 2^P - 1 = kP + 1 Ainsi, pour mon calcul qui va suivre, je pose P >2, donc P est forcément un nombre premier impair.
Mon but est d'essayer de trouver des nombres premiers de Mersenne, je pose Q un nombre premier.

J'obtiens donc 2^Q - 1 = kP + 1, ce qui est simplifié sous la forme 2^Q = kP + 2.

Là ça va devenir intéressant : on sait que pour tout P >= 3, que (2^Q - 1) modulo 10 = 1 ou 7.
Ensuite, afin de restreindre la multitude de cas possibles, et pour trouver une solution plus singulière, je pose k = P.

Ainsi, je pose 2^Q = P² + 2

Sachant que (2^Q - 1) modulo 10 = 1 ou 7, alors 2^Q modulo 10 = 2 ou 8.

Alors P² modulo 10 = 0 ou 6, or justement P est impair, donc son carré (P²) est aussi impair, ce qui exclut 0 et 6, donc il n'existe par d'égalité telle que 2^Q - 1 = P² + 1 avec Q et P premiers.


Ensuite, si on suppose que k est différent de P, alors la forme 2^P - 1 = kP + 1 donne l'égalité k = (2^P - 2)/P où le numérateur est toujours pair, et P toujours impair, ce qui a pour conséquence que k est pair.

Comme 2^P - 1 se termine toujours par 1 ou 7 pour P >= 3, alors la valeur du produit kP se termine toujours par 0 ou 6. Mais comme k est pair, alors kP est pair aussi, ce qui admet bien l'une des deux valeurs : 0 ou 6, donc kP est un multiple de 5 ou un multiple de 6.

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bongo1981
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MessageSujet: Re: Mathématiques - Démonstration - Nombres premiers de Mersenne   Mathématiques - Démonstration - Nombres premiers de Mersenne - Page 2 Icon_minitimeJeu 12 Mai 2011 - 20:27

En fait ça se démontre encore plus simplement :
Si n n'est pas divisible par 3, alors :
n=1[3] ou n=2[3] (les crochets pour dire modulo).

Dans ce cas je vais démontrer que n(n+6)=1[3]

1er cas : n=1[3]
n=3k+1 et n+6=3k+7
n(n+6) = 3(3k²+8k+2) + 1 = 1[3]

2ème cas : n=2[3]
n=3k+2 et n+6=3k+8
n(n+6) = 3(3k²+10k+5) + 1 = 1[3]

Donc dans les deux cas : n(n+6)+2 = 0[3] est bien divisible par 3
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MessageSujet: Re: Mathématiques - Démonstration - Nombres premiers de Mersenne   Mathématiques - Démonstration - Nombres premiers de Mersenne - Page 2 Icon_minitimeJeu 12 Mai 2011 - 20:35


Bravo pour ta démonstration.

Aujourd'hui, j'ai consacré surtout mon temps à la théorie NBB. M. Cosentino nous a montré une équation et j'ai donné aujourd'hui des réponses intéressantes. En gros, tu sais ce que j'en pense.
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MessageSujet: Re: Mathématiques - Démonstration - Nombres premiers de Mersenne   Mathématiques - Démonstration - Nombres premiers de Mersenne - Page 2 Icon_minitimeVen 13 Mai 2011 - 7:59

J'avais démontré auparavant qu'un nombre de Mersenne n'était jamais un carré ni la somme de deux carrés.

Aujourd'hui, je peux démontrer qu'un nombre composé de Mersenne peut être le produit de deux nombres premiers jumeaux.

D'après le théorème fondamental de l'arithmétique, tout nombre composé peut s'écrire comme le produit d'au moins deux facteurs premiers.

Par exemple : 6 = 2 * 3 et 15 = 3* 5

Soit P un nombre entier quelconque, pair ou impair, premier ou composé. Parce que ce nombre va définir un nombre composé de Mersenne, où P peut être premier ou bien composé.

2^P - 1 = A.B un nombre de Mersenne est produit de deux nombres premiers A et B. Il existe évidemment des cas où le nombre de facteurs premiers est plus important, mais ici on se limitera à deux facteurs premiers.

A et B sont deux premiers jumeaux, donc B = A + 2, et ils sont supérieurs à 2, donc impairs. Alors A = 2k + 1 avec k un entier positif non nul.

donc 2^P - 1 = A(A + 2) = A² + 2A

alors 2^P - 1 = (2k + 1)² + 2(2k + 1)

2^P - 1 = 4k² + 4k + 1 + 4k + 2

2^P - 1 = 4k² + 8k + 3

2^P - 1 est toujours impair
4k² + 8k + 3 est toujours impair

2^P - 4 = 4k² + 8k

2^(P - 2) - 1 = k² + 2k = k(k + 2)

Comme 2^(P - 2) - 1 est impair, alors k est impair.

Donc s'il existe des nombres composés de Mersenne qui sont le produit de deux nombres premiers jumeaux, alors 2^P - 1 = (2k+1)(2k+3) est une égalité qui implique que k est nécessairement impair.

Cependant, j'avais prouvé que tout nombre de Mersenne supérieur à 5 (avec P impair) se termine toujours par le chiffre 1 ou le chiffre 7 en écriture décimale, alors je vais faire une analyse modulaire.

Si un nombre composé de Mersenne respecte l'égalité (A(A+2)) mod 10 = 1 ou 7, alors il existe deux facteurs premiers jumeaux.

Cependant :

(1 * 3) modulo 10 = 3
(3 * 5) modulo 10 = 5
(5 * 7) modulo 10 = 5
(7 * 9) modulo 10 = 3
(9 * 1) modulo 10 = 9

Ainsi, lorsqu'on fait le produit de nombres impairs jumeaux, ce produit est un nombre dont le dernier chiffre n'est jamais un 1 ni un 7. Par conséquent, il n'existe aucun nombre de Mersenne qui soit le produit de deux nombres premiers jumeaux.

Résumé : avec P impair, il n'existe aucun nombre composé de Mersenne 2^P - 1 > 5 égal au produit de 2 nombres premiers jumeaux.

Avec P pair, il peut y avoir produit de deux premiers jumeaux.

Exemple : P = 4, donc 2^4 - 1 = 15 = 3 * 5 = deux facteurs premiers jumeaux, mais P est pair.

Donc, avec P premier, donc impair, alors si 2^P - 1 est composé, alors il n'est jamais le produit de deux nombres premiers jumeaux.




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MessageSujet: Re: Mathématiques - Démonstration - Nombres premiers de Mersenne   Mathématiques - Démonstration - Nombres premiers de Mersenne - Page 2 Icon_minitimeVen 13 Mai 2011 - 11:37

J'ai une démonstration plus générale :

Si tu le veux bien je propose cette façon de raisonner.

Soit M_n un nombre de Mersenne s'écrivant : M_n = 2^n - 1
On veut chercher s'il est possible de trouver 2 nombres premiers jumeaux tel que leur produit soit le nombre M_n.
Des nombres premiers jumeaux sont impairs, et s'écrivent : 2k-1 et 2k+1.

Le produit s'écrit : 2^n - 1 = 4k²-1
Obtenant : 2^(n-2) = k²
Donc n est pair n=2m et k = 2^(m-1)

Donc il ne reste plus qu'à trouver un couple de nombres premiers jumeaux (P_m,Q_m) P_m = 2^m - 1 et Q_m = 2^m + 1.
Est-ce qu'ils existent ?

Comme tu l'as analysé on peut démontrer que ce n'est pas possible, sauf pour 3 et 5 (correspondant à m=2)
Les puissances de 2 ont leur chiffre des unités périodiques (2, 4, 8 ,6 ,2, 4 , 8, 6 etc...) (période 4).
Donc P_m se termine par 1, 3, 7, 5
Et Q_m se termine par : 3, 5, 9, 7

On exclut les puissances m=4j et m=4j+2 puisque pour ceux-ci P_m ou Q_m se termine par 5 et sont donc non premiers (pour m>0, le cas 3 et 5 est déjà traité).
Donc il reste le cas m=4j+1 et m=4j+3, qui sont impairs pour m. Donc m=2l+1.
On va démontrer que :
Q_m(m=2l+1) = 2^(2l+1) +1 est un multiple de 3.

Pour cela on tourne le chapitre des polynômes et on cherche à factoriser :
R[X] = X^(2l+1)+1 = (X+1) * (X^(2l) - X^(2l-1) + X^(2l-2) -...+ 1)
Pour X=2 on voit bien que le facteur X+1=3.
CQFD

D'où l'impossibilité quelque soit P>2 (pour P=2, ça donne le cas 3 et 5)
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MessageSujet: Re: Mathématiques - Démonstration - Nombres premiers de Mersenne   Mathématiques - Démonstration - Nombres premiers de Mersenne - Page 2 Icon_minitimeVen 13 Mai 2011 - 11:44

Très bien. Smile



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MessageSujet: Re: Mathématiques - Démonstration - Nombres premiers de Mersenne   Mathématiques - Démonstration - Nombres premiers de Mersenne - Page 2 Icon_minitimeVen 13 Mai 2011 - 12:16

Pour compléter l'hypothèse de deux possibles facteurs premiers pour un nombre de Mersenne composé, je vais étendre le calcul pour les facteurs premiers cousins.

Soit P un nombre premier, donc impair.

Soit M le nombre de Mersenne composé : M = 2^P - 1 = (2k-2)(2k+2)

avec k = entier positif non nul, et où (2k-2)(2k+2) est le produit des deux facteurs premiers cousins.

M = 4k² - 4 = 4(k² - 1)

alors 2^(P-2) - 1 = k² - 1

donc 2^(P-2) = k² est-ce qu'une puissance de 2 peut-elle être un carré ? Si P = 4, alors 2^(4-2) = 2² = k² donc k = 2, donc oui.

Comme 2^(P-2) est pair, alors k² (et donc k) est pair aussi.

k = 4 donc k² = 16 et alors 2^4 = 2^(6-2) = 16, donc P = 6.
k = 2 donc P = 4, ça on l'a vu plus haut.
k = 6 donc k² = 36 et alors au mieux on a 2^5 = 32, donc ça ne colle pas.
k = 8 donc k² = 64 et alors 2^6 = 64, ainsi 2^(8-2) = 64, donc P = 8.

Lorsque k est pair, alors P est toujours pair. Et k est de la forme k = 2^x. Et alors : 2^(P-2) = 2^x, donc x = P - 2.

Pour tout M > 5, alors avec P premier ou impair quelconque, M modulo 10 = 1 ou 7, ce qui montre a priori que le produit de deux nombres premiers cousins donnerait un nombre composé de Mersenne, mais je retiens la conclusion contraire : pas de solutions pour P impair.


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MessageSujet: Re: Mathématiques - Démonstration - Nombres premiers de Mersenne   Mathématiques - Démonstration - Nombres premiers de Mersenne - Page 2 Icon_minitimeVen 13 Mai 2011 - 14:16

Citation :
Soit M le nombre de Mersenne composé : M = 2^P - 1 = (2k-2)(2k+2)
Y a un problème là. (membre de droite pair, membre de gauche impair).
Citation :
avec k = entier positif non nul, et où (2k-2)(2k+2) est le produit des deux facteurs premiers cousins.

M = 4k² - 4 = 4(k² - 1)

alors 2^(P-2) - 1 = k² - 1
Et là il y a une erreur de calcul, 2^(P-2)-1/4=k²-1

Bref, tu veux montrer trouver les nombres de Mersenne premiers ?
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MessageSujet: Re: Mathématiques - Démonstration - Nombres premiers de Mersenne   Mathématiques - Démonstration - Nombres premiers de Mersenne - Page 2 Icon_minitimeVen 13 Mai 2011 - 15:05

Effectivement, c'est à revoir.

M = 2^P - 1 = Q(Q+4) = Q² + 4Q

Q = 2k+1

donc M = (2k+1)² + 4(2k+1) = 4k² + 4k + 1 + 8k + 4 = 4k² + 12k + 5

Ainsi : 2^P - 1 = 4k² + 12k + 5

Les deux membres sont impairs.

2^P - 6 = 4(k² + 3k)

2^(P-1) - 3 = 2(k² + 3k)

Tiens ? Le membre à gauche est impair, et celui de droite est pair.

Doit-on en conclure qu'un nombre de Mersenne n'est jamais le produit de deux nombres premiers cousins Q et Q+4 ?

Entre temps, j'étais sur le produit de Q par Q+6 pour trouver une égalité avec 2^P - 1. Le produit des deux facteurs premiers sexys donne à chaque fois un nombre terminé par le chiffre 1 ou 7, comme les nombres de Mersenne. Pour l'instant je n'ai pas encore donné de conclusion.



Mais j'ai découvert un truc très intéressant en tripotant directement les nombres :


2^9 - 1 = 63 = 3 * 3 * 7 (produit de 3 facteurs premiers, qui sont eux-mêmes des nombres premiers de Mersenne)

2^11 - 1 = 2047 = 23 * 89 (produit de 2 facteurs premiers) c'est de la forme Q(Q+66)

2^15 - 1 = 32767 = 7 * 31 * 151 (on remarque ici deux facteurs premiers qui sont eux-mêmes des premiers de Mersenne)

2^21 - 1 = 2097151 = 7 * 7 * 127 * 337 (on remarque ici 3 facteurs premiers qui sont eux-mêmes des premiers de Mersenne)

2^23 - 1 = 8388607 = 47 * 178481 (les facteurs premiers ici ne sont pas des premiers de Mersenne)

C'est troublant, hein ? Mais ça ne marche pas à chaque nombre composé de Mersenne réduit en facteurs premiers.

2^25 - 1 = 33554431 = 31 * 601 * 1801 (là on trouve 31 qui est un premier de Mersenne : 2^5 - 1)

2^27 - 1 = 134217727 = 7 * 73 * 262657 (là, encore 7, égal à 2^3 - 1)



Le but de la recherche est de pouvoir identifier à coup sûr des nombres composés de Mersenne, selon une méthode comparable au crible d'Eratosthène : on identifie les nombres composés, on les élimine et ce qui reste sont les nombres premiers de Mersenne.

Je remarque que mon exemple ci-dessus montre qu'il y a 4 nombres de Mersenne qui sont des multiples de 7, sur les 7 calculs effectués.


Je conjecture que si on multiplie entre eux deux ou trois nombres premiers de Mersenne avec un autre nombre premier précis, l'on obtient un nombre composé de Mersenne.

Je pense écrire un programme pour tester les nombres composés de Mersenne et analyser leurs facteurs premiers.
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MessageSujet: Re: Mathématiques - Démonstration - Nombres premiers de Mersenne   Mathématiques - Démonstration - Nombres premiers de Mersenne - Page 2 Icon_minitimeSam 14 Mai 2011 - 12:06

J'annonce la création tout récente du forum Mathématiques dans la catégorie Sciences exactes. Smile

En conséquence, j'ai déplacé le topic des nombres premiers depuis Philosophie vers le nouveau forum Mathématiques.



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MessageSujet: Re: Mathématiques - Démonstration - Nombres premiers de Mersenne   Mathématiques - Démonstration - Nombres premiers de Mersenne - Page 2 Icon_minitimeDim 15 Mai 2011 - 17:44

Conjecture sur les nombres répunits premiers en base 3

Un repunit premier en base 3 est un nombre premier de la forme (11111…111) lorsqu'il est écrit en base 3.
En base 10 il s'écrit sous la forme d'addition des puissances successives de 3 : 3^0+3^1+3^2+3^3+…+3^(N-1)+ 3^N.



Résultats par calcul informatique :

N = 2 : 13 est premier (repunit en base 3) = 3^0 + 3^1 + 3^2
N = 6 : 1093 est premier (repunit en base 3)
N = 12 : 797161 est premier (repunit en base 3)

Je constate une régularité possible dans la succession des nombres N. Je conjecture que N est de la forme N = k(k+1) où k est un entier positif non nul.
En remplaçant N par k, alors quelque soit k, je conjecture que le résultat du calcul est un nombre premier. À moins qu'il n'y ait une limite comme les nombres premiers de Fermat : 2^(2X) + 1.

Le calcul se poursuit mais l'attente est longue. Je prédis les prochains N comme étant 20 et 30 et 42, mais c'est à vérifier...
Un test semble montrer que pour N > 12, les nombres repunits en base 3 sont composés. Par exemple, avec N = 20, le repunit base 3 possède 3 facteurs premiers en base 10.

Intéressant, non ? Wink

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MessageSujet: Re: Mathématiques - Démonstration - Nombres premiers de Mersenne   Mathématiques - Démonstration - Nombres premiers de Mersenne - Page 2 Icon_minitimeLun 16 Mai 2011 - 8:36

Conjecture sur les nombres premiers de Fibonacci et les nombres de Mersenne

La suite de Fibonacci est une suite de nombres où chaque terme est la somme des deux termes précédents.

Suite : 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610
J'additionne les carrés de deux termes consécutifs : 2² + 3² = 13 ; 5² + 8² = 89 ; 13² + 21² = 610.

Je constate, preuve à l'appui, que la somme des carrés de deux termes consécutifs de Fibonacci donne un nombre de la suite de Fibonacci.

C'est très intéressant, parce que j'avais auparavant prouvé qu'un nombre premier de Mersenne n'était jamais la somme de deux carrés. Ainsi, je conjecture que, puisqu'un nombre premier de la suite de Fibonacci puisse être la somme de deux carrés consécutifs de la même suite, il n'existe aucun nombre premier de Mersenne parmi l'infinité des termes de la suite de Fibonacci.
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MessageSujet: Re: Mathématiques - Démonstration - Nombres premiers de Mersenne   Mathématiques - Démonstration - Nombres premiers de Mersenne - Page 2 Icon_minitimeMar 17 Mai 2011 - 17:32

Pulstars a écrit:
Je conjecture que si on multiplie entre eux deux ou trois nombres premiers de Mersenne avec un autre nombre premier précis, l'on obtient un nombre composé de Mersenne.
Il n'y a pas plus vague comme énoncé...
Je te propose la formulation suivante :

Soit p un nombre, tel que M_p soit un nombre composé de Mersenne.
Alors il existe un triplet (m,n,k), k premier, tels que : M_m * M_n * k = M_p

Soit : M_m * M_n * k = (2^m -1)*(2^n -1)*k = k*2^(m+n) - k*(2^m+2^n) + k = 2^p - 1
Je pense qu'il doit être possible d'exploiter cela, même si c'est assez vague.
Pulstars a écrit:
Je constate une régularité possible dans la succession des nombres N. [b]Je conjecture que N est de la forme N = k(k+1) où k est un entier positif non nul.
Je te propose de définir la suite u_n = Somme (k=0 à n) 3^k
Tu peux calculer le terme général : u_n = (3^(n+1)-1)/2
Donc u_n(n+1) est premier.

Donc cela reviendrait à montrer que quelque n, alors (3^(n(n+1)+1)-1)/2 est premier.
Bon courage.
Pulstars a écrit:
Le calcul se poursuit mais l'attente est longue. Je prédis les prochains N comme étant 20 et 30 et 42, mais c'est à vérifier...
Un test semble montrer que pour N > 12, les nombres repunits en base 3 sont composés. Par exemple, avec N = 20, le repunit base 3 possède 3 facteurs premiers en base 10.
Cette précision est superfétatoire. Mais faudrait quand même démontrer toutes ces affirmations.
Pulstars a écrit:
Conjecture sur les nombres premiers de Fibonacci et les nombres de Mersenne

La suite de Fibonacci est une suite de nombres où chaque terme est la somme des deux termes précédents.

Suite : 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610
J'additionne les carrés de deux termes consécutifs : 2² + 3² = 13 ; 5² + 8² = 89 ; 13² + 21² = 610.

Je constate, preuve à l'appui, que la somme des carrés de deux termes consécutifs de Fibonacci donne un nombre de la suite de Fibonacci.
Euh non, il n'y a pas de preuve là.
Tu veux montrer que : soit n, il existe N tel que F_N = F_n² + F_(n+1)²

Et le terme général de la suite de Fibonnacci :
F_n = (phi^n -1phi^n)/racine 5
Avec phi = (1+racine 5)/2
Pulstars a écrit:
C'est très intéressant, parce que j'avais auparavant prouvé qu'un nombre premier de Mersenne n'était jamais la somme de deux carrés. Ainsi, je conjecture que, puisqu'un nombre premier de la suite de Fibonacci puisse être la somme de deux carrés consécutifs de la même suite, il n'existe aucun nombre premier de Mersenne parmi l'infinité des termes de la suite de Fibonacci.
Y a encore du boulot pour pouvoir démontrer tout ça.


Dernière édition par bongo1981 le Mer 18 Mai 2011 - 20:52, édité 2 fois
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MessageSujet: Re: Mathématiques - Démonstration - Nombres premiers de Mersenne   Mathématiques - Démonstration - Nombres premiers de Mersenne - Page 2 Icon_minitimeMar 17 Mai 2011 - 20:37

Oui, c'est certes incomplet puisque ce sont des conjectures, mais cela pourrait être une piste intéressante.

Par exemple, je constate aussi que 377² + 610² = 514229 = 196418 + 317811.
Je conjecture que la somme des carrés de deux nombres de Fibonacci est la somme de deux autres nombres de Fibonacci. Au début du topic sur les nombres premiers, j'avais trouvé que, avec l'argument suivant "un nombre premier de la forme 4n+1 est aussi la somme de deux carrés" (Euler), un nombre premier de Mersenne n'est jamais de la forme 4n+1 dont il ne peut être la somme de deux carrés. La conjecture selon laquelle il n'existe pas de nombre de Mersenne dans la suite de Fibonacci est à vérifier.

Comme tu sembles être bon en maths, je suppose que tu as dû trouver toi-même des théorèmes, pourquoi ne les publierais-tu pas dans le forum ?
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MessageSujet: Re: Mathématiques - Démonstration - Nombres premiers de Mersenne   Mathématiques - Démonstration - Nombres premiers de Mersenne - Page 2 Icon_minitimeMer 18 Mai 2011 - 20:44

Pulstars a écrit:
Je conjecture que la somme des carrés de deux nombres de Fibonacci est la somme de deux autres nombres de Fibonacci.
Ca doit être assez facilement démontrable non ? (je dis ça en trouvant une contre preuve).
Sinon... tu dis :
Quelque soit n et m, il existe p et q tels que : F_n²+F_m² = F_p+F_q

En fixant m=0, ça doit être démontrable par récurrence sur n ?
Pulstars a écrit:
Au début du topic sur les nombres premiers, j'avais trouvé que, avec l'argument suivant "un nombre premier de la forme 4n+1 est aussi la somme de deux carrés" (Euler), un nombre premier de Mersenne n'est jamais de la forme 4n+1 dont il ne peut être la somme de deux carrés. La conjecture selon laquelle il n'existe pas de nombre de Mersenne dans la suite de Fibonacci est à vérifier.

Comme tu sembles être bon en maths, je suppose que tu as dû trouver toi-même des théorèmes, pourquoi ne les publierais-tu pas dans le forum ?
Loin de là, mais merci pour le compliment.
Je pense que j'ai déjà démontré certains résultats, mais je pense que d'autres mathématiciens y sont passés avant moi. Et puis ce sont des tout petits résultats qui n'ont absolument pas la valeur d'un théorème.
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MessageSujet: Re: Mathématiques - Démonstration - Nombres premiers de Mersenne   Mathématiques - Démonstration - Nombres premiers de Mersenne - Page 2 Icon_minitimeJeu 19 Mai 2011 - 9:42

bongo1981 a écrit:
Pulstars a écrit:
Je constate une régularité possible dans la succession des nombres N. [b]Je conjecture que N est de la forme N = k(k+1) où k est un entier positif non nul.
Je te propose de définir la suite u_n = Somme (k=0 à n) 3^k
Tu peux calculer le terme général : u_n = (3^(n+1)-1)/2
Donc u_n(n+1) est premier.

Donc cela reviendrait à montrer que quelque n, alors (3^(n(n+1)+1)-1)/2 est premier.
Bon courage.
Ah j'ai trouvé u_20 n'est pas premier.
u_20 = 5230176601 = 17 * 307657447.
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MessageSujet: Re: Mathématiques - Démonstration - Nombres premiers de Mersenne   Mathématiques - Démonstration - Nombres premiers de Mersenne - Page 2 Icon_minitimeJeu 19 Mai 2011 - 9:50

Oui, et j'avais dit aussi que Un test semble montrer que pour N > 12, les nombres repunits en base 3 sont composés. Par exemple, avec N = 20, le repunit base 3 possède 3 facteurs premiers en base 10.


Bongo1981 a écrit:

Ah j'ai trouvé u_20 n'est pas premier.
u_20 = 5230176601 = 17 * 307657447.

Pour être plus précis : 13×1093×368089 = u_20 = 5230176601 c'est bien 3 facteurs premiers et non pas deux comme tu l'annonces. Wink
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MessageSujet: Re: Mathématiques - Démonstration - Nombres premiers de Mersenne   Mathématiques - Démonstration - Nombres premiers de Mersenne - Page 2 Icon_minitimeJeu 19 Mai 2011 - 11:24

A aucun moment je n'ai parlé de facteurs premiers. J'ai juste dit que u_20 n'est pas premier. Et mea culpa, c'était bien divisible par 13 et non 17.
Par contre... qu'est-ce que tu voulais démontrer alors ? Ta phrase était tournée bizarrement.
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MessageSujet: Re: Mathématiques - Démonstration - Nombres premiers de Mersenne   Mathématiques - Démonstration - Nombres premiers de Mersenne - Page 2 Icon_minitimeJeu 19 Mai 2011 - 11:30

bongo1981 a écrit:
Pulstars a écrit:
Je conjecture que la somme des carrés de deux nombres de Fibonacci est la somme de deux autres nombres de Fibonacci.
Ca doit être assez facilement démontrable non ? (je dis ça en trouvant une contre preuve).
Sinon... tu dis :
Quelque soit n et m, il existe p et q tels que : F_n²+F_m² = F_p+F_q

En fixant m=0, ça doit être démontrable par récurrence sur n ?
J'ai une contre preuve :
F_1 = 1
F_6 = 8

la somme de leur carré : 65

Et voici la liste :
F_0 = 0
F_1 = 1
F_2 = 1
F_3 = 2
F_4 = 3
F_5 = 5
F_6 = 8
F_7 = 13
F_8 = 21
F_9 = 34
F_10 = 55
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MessageSujet: Re: Mathématiques - Démonstration - Nombres premiers de Mersenne   Mathématiques - Démonstration - Nombres premiers de Mersenne - Page 2 Icon_minitimeJeu 19 Mai 2011 - 12:17

J'ai énoncé cette conjecture :
la somme des carrés de deux termes consécutifs de Fibonacci donne un nombre de la suite de Fibonacci.

F_n² + F_n+1² = F_n+k avec k > 1

Ta contre-preuve c'est la somme des carrés de deux termes qui ne sont PAS consécutifs.
Ainsi, trouve moi un contre-exemple qui infirmera ma conjecture.

0² + 1² = 1 donc F_0² + F_1² = F_2
1² + 1² = 2 donc F_1² + F_2² = F_3
1² + 2² = 5 donc F_2² + F_3² = F_5
2² + 3² = 13 donc F_3² + F_4² = F_7
3² + 5² = 34 donc F_4² + F_5² = F_9
5² + 8² = 89 donc F_5² + F_6² = F_11
8² + 13² = 233 donc F_6² + F_7² = F_13

D'ailleurs, il semble possible qu'à partir de F_1, l'on ait cette loi :

F_n² + F_n+1² = F_(2n+1)


C'est-à-dire que la somme des carrés de deux termes consécutifs est égal à un terme de la suite de Fibonacci dont l'indice est la somme des indices des termes étant les membres de la somme.

Ainsi, si ma conjecture est vraie, alors je formule l'hypothèse suivante :

F_1000 au carré + F_1001 au carré = F_2001

Je vais examiner cela, réponse ultérieure prochainement... Hypothèse confirmée !! Voir ici : http://www.wolframalpha.com/input/?i=F_1000%C2%B2+%2B+F_1001%C2%B2+-+F_2001

En attendant, je modifie ce que j'ai dit sur les nombres premiers de Mersenne.
Si ma conjecture présentement détaillée dans ce message est vraie, alors les termes de la suite de Fibonacci dont l'indice est impair (par exemple F_3, F_13, F_51... jusqu'à l'infini) ne sont jamais des nombres premiers de Mersenne.

Je reconnais que mes posts antérieurs étaient un peu plus confus, mais la conjecture se précise.
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MessageSujet: Re: Mathématiques - Démonstration - Nombres premiers de Mersenne   Mathématiques - Démonstration - Nombres premiers de Mersenne - Page 2 Icon_minitimeJeu 19 Mai 2011 - 13:15

Pulstars a écrit:
J'ai énoncé cette conjecture :
la somme des carrés de deux termes consécutifs de Fibonacci donne un nombre de la suite de Fibonacci.
Excuse-moi, j'ai repris un paragraphe où l'énoncé était plus général que deux termes consécutifs.

Pulstars a écrit:
D'ailleurs, il semble possible qu'à partir de F_1, l'on ait cette loi :
F_n² + F_n+1² = F_(2n+1)
Ca pourrait être intéressant à démontrer.
Pulstars a écrit:
Ainsi, si ma conjecture est vraie, alors je formule l'hypothèse suivante :

F_1000 au carré + F_1001 au carré = F_2001

Je vais examiner cela, réponse ultérieure prochainement... Hypothèse confirmée !! Voir ici : http://www.wolframalpha.com/input/?i=F_1000%C2%B2+%2B+F_1001%C2%B2+-+F_2001

En attendant, je modifie ce que j'ai dit sur les nombres premiers de Mersenne.
Si ma conjecture présentement détaillée dans ce message est vraie, alors les termes de la suite de Fibonacci dont l'indice est impair (par exemple F_3, F_13, F_51... jusqu'à l'infini) ne sont jamais des nombres premiers de Mersenne.

Je reconnais que mes posts antérieurs étaient un peu plus confus, mais la conjecture se précise.
Je pense que si c'est vrai, je pourrai la démontrer.
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MessageSujet: Re: Mathématiques - Démonstration - Nombres premiers de Mersenne   Mathématiques - Démonstration - Nombres premiers de Mersenne - Page 2 Icon_minitimeJeu 19 Mai 2011 - 13:20

Essaie de le démontrer pour voir, ça m'a l'air de marcher Wink
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MessageSujet: Re: Mathématiques - Démonstration - Nombres premiers de Mersenne   Mathématiques - Démonstration - Nombres premiers de Mersenne - Page 2 Icon_minitimeJeu 19 Mai 2011 - 13:57

Je suppose un terme de la suite de Fibonacci, très très grand (pour simplifier le calcul), je le note X.

Soit N un entier positif non nul.
Soit P = (1 + √5)/2 = 1,61803398... le fameux nombre d'or.

Un terme, donc, est la somme des termes précédents. Or, pour de très très grands termes, le terme X est suivi par un terme qui tend vers X*P, ce dernier tendant lui-même vers X*P².

Voici une quasi-égalité lorsque X est très grand :

X + P*X = X*P²

Je vérifie : X(1 + P) = X*P²

C'est vrai puisque P² = P + 1.

Ensuite, je pose ma conjecture :

X² + (P*X)² = X*P^N

donc X² + P²X² = X*P^N

alors X²(1 + P²) = X²(2 + P) = X*P^N


Néanmoins, je reformule autrement, soit N l'indice d'un terme de Fibonacci, je conjecture que :

(1/5) * (P^(2N) + P^(2(N+1))) = (P^(2N+1)) / √5

que je simplifie par :

(1/√5) * (P^(2N) + P^(2N+2)) = P^(2N+1) cela vaut surtout pour les grands nombres



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MessageSujet: Re: Mathématiques - Démonstration - Nombres premiers de Mersenne   Mathématiques - Démonstration - Nombres premiers de Mersenne - Page 2 Icon_minitimeJeu 19 Mai 2011 - 14:14

Oh ! Là je viens de découvrir quelque chose (d'autre) de super à la main sur papier, je vais faire un test informatique de calcul modulaire dans la suite de Fibonacci afin de confirmer une nouvelle conjecture connexe. A priori, j'ai découvert un motif qui se répète. Bientôt je viendrai ajouter des infos.

Voila le complément d'info :

Le test informatique confirme ce qui est mis en évidence sur papier.

Étapes du raisonnement :

On écrit tous les termes de la suites de Fibonacci. Ensuite, chacun des termes est remplacé par terme modulo 10, ainsi comme nouvelle suite on ne retient donc que le dernier chiffre de chaque terme, en écriture décimale.

Remarque : le motif de base commence par F_0 mod 10, F_1 mod 10, F_2 mod 10, ça veut dire que le motif est 0 1 1 2 3 5 8 3 1 4 5 9 4 3 7 0 7... à partir de F_0 mod 10.
Donc la découverte, c'est que j'ai constaté que le motif se répète à partir de F_59, d'où F_n modulo 10 repart à zéro.

Le test informatique a été réalisé avec un programme écrit en langage Perl. À l'origine j'ai réutilisé le code source du programme qui calculait les nombres premiers présents dans la suite de Fibonacci, ce programme a dès lors été modifié pour calculer les termes modulo 10. Néanmoins, j'ai le projet d'un programme écrit en langage Python qui n'est pas limité dans l'écriture décimale des chiffres car le Perl arrondit les nombres à partir de F_74 en expression de puissance de 10 tandis que le Python conserve tous les chiffres.
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MessageSujet: Re: Mathématiques - Démonstration - Nombres premiers de Mersenne   Mathématiques - Démonstration - Nombres premiers de Mersenne - Page 2 Icon_minitimeJeu 19 Mai 2011 - 15:14

En fait la propriété a déjà été démontrée :

http://fr.wikipedia.org/wiki/Suite_de_Fibonacci

Propriété 8

Quant à la périodicité, que ce soit en modulo 10 ou modulo k quelconque, la suite est très probablement périodique (après ce qui pourrait être intéressant, ça serait pour un k donné, trouver la période).

Et la suite de Fibonacci fait partie des suites récurrentes linéaires d'ordre 2. D'après ce que je lis sur wiki, ils ont fait le tour de ce genre de suites.
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MessageSujet: Re: Mathématiques - Démonstration - Nombres premiers de Mersenne   Mathématiques - Démonstration - Nombres premiers de Mersenne - Page 2 Icon_minitimeJeu 19 Mai 2011 - 15:27

Ainsi ici, l'objet de ma recherche, c'est de démontrer qu'il n'existe pas de nombres premiers de Mersenne parmi tous les termes de la suite de Fibonacci. Ma conjecture a déjà suggéré précédemment que les termes dont l'indice est impair ne sont jamais des nombres premiers de Mersenne, c'est un pas en avant. Reste à démontrer tout ça.

Concernant la propriété 8, je suis stupéfait. J'ai souvent redécouvert des trucs déjà connus. Une fois j'avais trouvé des nombres premiers de la forme 2^(2^N) + 1 dont je découvris peu après que c'était des nombres premiers de Fermat.

Il semble que cela soit très difficile de découvrir quelque chose de complètement inédit. Les matheux professionnels ont une longueur d'avance sur les autres matheux.

Par exemple, les nombres premiers de la forme 3n(n - 1) + 1 (nom = nombres premiers hexagonaux centrés) sont aussi des nombres premiers x et y de la forme (x^3 - y^3) , avec x = y + 1, ces nombres premiers sont connus sous le nom de cubains. Je ne sais pas si un tel lien (hexagonaux = cubains) est déjà découvert. Tiens, en effet, ça en parle ici : http://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_premier_cubain

En fait, si je cherche à découvrir un truc inédit, j'aimerais que ce soit sur les nombres premiers de Mersenne.
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